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| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_{n-1}}. [/mm] Man berechne den den Grenzwert für limes geht gegen unendlich. Zeigen Sie zunächst die Existenz des Grenzwertes. |
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Hallo,
zunächst habe ich die Monotonie bestimmt, weil mon+beschr.=konvergent.
[mm] a_{n}
[mm] \wurzel{2+a_{n-1}}<\wurzel{2+a_{n}}
[/mm]
[mm] a_{n-1}
Bei der Beschränkung habe ich nun angenommen, dass
[mm] 1
Dies will ich nun mit der vollständigen Induktion beweisen und hier komme ich nicht weiter.
Bis jetzt hab ich:
IA: n=1
[mm] a_{1} =\wurzel{2}
[/mm]
1<2
und
[mm] \wurzel{2}<2
[/mm]
2<4
IS: [mm] n\ton+1
[/mm]
[mm] 1<\wurzel{2+a_{n}}
[/mm]
1< [mm] 2+a_{n}
[/mm]
[mm] \wurzel{2+a_{n}}<2
[/mm]
[mm] 2+a_{n}<4 [/mm] und das passt ja nicht.. wahrscheinlich ist es schon ab dem IS: falsch, oder?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß
Linda
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Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, würde aber so vorgehen:
Ich versuche zu zeigen dass [mm] a_n\le2 [/mm] nicht < 2
IA: klar
IV: klar
[mm] IS:n\mapsto [/mm] n+1
zz: [mm] a_{n+1}=\wurzel{2+a_n}\le2
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2+a_n} [/mm] n. Def
[mm] \le\wurzel{2+2} [/mm] da [mm] a_n [/mm] nach IV [mm] \le2
[/mm]
[mm] =\wurzel{4}
[/mm]
=2
Also [mm] a_{n+1}\le2, [/mm] was zu zeigen war.
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] ist nach oben beschränkt, nach vollständiger Induktion.
Viele Grüße Reticella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Reticella |
hab vergessen, zu zeigen, dass [mm] a_n [/mm] > 1
ist aber ganz eifach:
IS: zz [mm] a_{n+1}=\wurzel{2+a_n}>1
[/mm]
[mm] \wurzel{2+a_n}>\wurzel{2+1} [/mm] nach IV
[mm] =\wurzel{3}>1
[/mm]
was zu zeigen war.
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