Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche x konvergiert die Folge [mm] f(t)=\begin{cases} x^x, & \mbox{für } t=1 \\ x^{f(t-1)}, & \mbox{für } t>1 \end{cases} [/mm] |
Spontan würde ich auf das Intervall [0,1] tippen. Anscheinend ist das aber nicht die Lösung.
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Nehme ich richtig an, dass [mm] t\in\IN, x\in\IR [/mm] ?
Dann wäre wohl in der Tat leicht zu zeigen, dass [mm] x\ge0.
[/mm]
Auch [mm] x\le1 [/mm] ist nicht schwer.
Wenn Du das schon einmal tust, dann kommst Du Deinem vermuteten Intervall bedeutend näher.
Dann untersuch doch mal [mm] x=\bruch{1}{2}, [/mm] nur um zu sehen, wie die Folge sich eigentlich für einen willkürlichen Wert aus [0;1] verhält.
Und wenn Du das alles getan hast, dann zeig doch mal, an welcher Stelle Du eigentlich nicht weiterkommst.
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Ja, deine Mengenzuordnungen von t und x sind richtig. Für x=1/2 scheint die Folge zu konvergieren; für x=1/10 zu divergieren. Aber ichh habe keinen Ansatz wie man da auf das gesuchte Intervall kommen könnte.
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Ich auch noch nicht. Mal sehen.
Für ein paar Werte habe ich mal die ersten 1000 Folgenglieder berechnet und bin zu einem an beiden Enden erstaunlichen "Ergebnis" gekommen. Hier die Werte für x und den jeweiligen Grenzwert (Rechengenauigkeit nur 13 Stellen, daher sehr unzuverlässig):
1,4445 [mm] \rightarrow [/mm] divergent
[mm] \bruch{13}{9} \rightarrow [/mm] 2,64132221
1,4439 [mm] \rightarrow [/mm] 2,57842342
1,443 [mm] \rightarrow [/mm] 2,5162588
1,44 [mm] \rightarrow [/mm] 2,39381175
1,43 [mm] \rightarrow [/mm] 2,18402923
1 [mm] \rightarrow [/mm] 1
0,5 [mm] \rightarrow [/mm] 0,64118574
0,1 [mm] \rightarrow [/mm] 0,39901298
0,01 [mm] \rightarrow [/mm] alternierend 0,94148837 und 0,01309252
Das letzte Ergebnis ist nahezu sicher auf die Rechen(un)genauigkeit zurückzuführen, und wenn man ein bisschen Numerik getrieben hat, weiß man, wie groß die Fehler bei Iterationen sein können. Ich finde ja, es sieht so aus, als ob der größte Grenzwert e wäre. Aber warum sollte er gerade bei 13/9 auftreten?
Am anderen Ende erwarte ich eigentlich [mm] \limes_{x\rightarrow0}=0
[/mm]
Soweit ein bisschen Anschauungsmaterial. Vielleicht bringt es ja jemand anders auf eine Idee.
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