Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2^{n}+5} [/mm] |
Hallo Forum,
Hab mich ans Wiederholen gemacht und einige neue Aufgaben zu etwas zurückliegenden Themen gesucht. Nun macht mir diese Folge hier zu schaffen.
Mir ist anschaulich klar, dass die Folge gegen den Grenzwert 2 läuft, da die 5 für hohe n einfach kaum noch ins Gewicht fällt (Die 1000. Wurzel von 5 ist nicht sehr groß), aber ich finde einfach keinen Ansatz, wie ich herangehen kann.
Erweitern (was mir bei Wurzeln in dem Kontext immer zuerst durch den Kopf geht) macht ja hier keinen Sinn, da es um die n-te Wurzel geht.
Also muss ich wohl die Formel unter der Wurzel irgendwie Ergänzen (und dann evtl. über das Majorantenkriterium argumentieren). Aber ich komme einfach nicht drauf, wie ich das anstellen könnte.
Ein kleiner Tipp würde mir u.U. schon reichen - Wäre echt super.
mfg,
lp
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Für n [mm] \ge [/mm] 3 ist
2 = [mm] \wurzel[n]{2^n} \le a_n \le \wurzel[n]{2^n + 2^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2*2^n} [/mm] = [mm] 2\wurzel[n]{2}.
[/mm]
Weiter gilt : [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] --> 1 für n --> [mm] \infty
[/mm]
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 07.01.2009 | | Autor: | lichtpeter |
Klar, das hilft! Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Auf die Idee mit dem Sandwichlemma zu argumentieren, bin ich gar nicht gekommen. Da werd ich ab jetzt mal eher dran denken. Die Abschätzung für n [mm] \ge [/mm] x (hier 3) ist auch ne super Sache. Das hilft mir echt weiter und ist ja wohl auch ganz gut anderswo anwendbar. Werd ich mir merken.
mfg,
lp
|
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter!
Alternativ kannst Du unter der Wurzel auch [mm] $2^n$ [/mm] ausklammern.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
