Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 23.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | Beweis für [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{a} [/mm]=1 für jedes reelle a > 0
|
Hallo,
liegt es daran, daß es Wochenende ist? - an einem Detail des folgenden Beweises hake ich fest:
Es wird zunächst der Fall a [mm] \ge [/mm] 1 behandelt. Dabei wird definiert [mm]x_n:= \wurzel[n]{a} -1 [/mm] und die Bernoullische Ungleichung benutzt mit a= (1+ [mm] x_n)^n[/mm] [mm]\ge[/mm] 1 + [mm] nx_n. [/mm] Es ist damit [mm] x_n [/mm] < [mm] \bruch{a}{n}. [/mm] Damit ist [mm] |\wurzel[n]{a} [/mm] -1| = [mm] x_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n > N [mm] :=\bruch{a}{\epsilon}
[/mm]
Danach wird der Fall a < 1 behandelt durch Übergang zu [mm]a^-1[/mm] > 1. Ich verstehe nicht, warum der erste Lösungsweg nicht auch für 0<a<1 funktioniert.
Das einzige was mir einfiel, ist, daß die Bernoullische Ungleichung nur funktioniert für [mm] x_n [/mm] > -1 und dazu müßte [mm]\wurzel[n]{a} [/mm]>0 sein. Dies scheint mir aber durch den Existenzbeweis von Wurzeln gegeben: zu jeder reellen Zahl x>0 und jeder natürlichen Zahl k gibt es genau eine reelle Zahl y > 0 mit [mm] y^k [/mm] = x
Antonio
|
|
| |
|
Hallo Antonio,
erstens ist durch a > 0 [mm] a^\bruch{1}{n} [/mm] > 0 und damit [mm] x_n [/mm] > -1.
Zweitens gilt Bernoulli sogar für x [mm] \ge [/mm] -1, insofern seh ich auch keinen Grund, warum das nicht gehen sollte......
oder anders: Es geht auch für a<1 analog.
Die Frage ist nur, für welche x habt ihr Bernoulli gezeigt?
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Sa 23.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Gono,
danke für Deine Hinweise. In meinem Buch - Königsberger Analysis 1 wurde Bernoulli für x > -1 gezeigt, was eigentlich ja schon ausreichen müßte. Ich habe es gerade auch noch mal für x = -1 gerechnet
Grüße
Antonio
|
|
|
| |
|
Ist diese Fallunterscheidung überhaupt notwendig? Da [mm] \sqrt[n]{a}>0 [/mm] ist [mm] x_n [/mm] immer >-1, also kann man Bernoulli immer anwenden. Dann muss man doch die Fälle [mm] a\geq [/mm] 1 und 0<a<1 garnicht extra betrachten und kann das gleich für alle a mit [mm] x_n:=(wie [/mm] oben) so beweisen, wie es im Falle [mm] a\geq [/mm] 1 gemacht wurde, oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Oft wird die Bernoulli ungl nur fuer x>0 gezeigt, der Beweis ist dann viel einfacher. Wenn man sie aber fuer [mm] x\ge [/mm] -1 bewiesen hat ist der Beweis auch fur a<1 richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> Oft wird die Bernoulli ungl nur fuer x>0 gezeigt, der
> Beweis ist dann viel einfacher.
Inwiefern einfacher? Ich habs bisher nur für [mm] x\geq [/mm] -1 bewiesen und das ist mit Induktion doch schon recht einfach.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nicht gesagt schwer, sondern schwerer, Und wenn ihr das habt, ist ja der Beweis ok.
Gruss leduart
|
|
|
|
