Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Grenzwerte (falls vorhanden) von folgender Folge:
[mm] $a_n:=n-\sqrt{n^2+5n}$ [/mm] |
Also meine Ergebnisse:
[mm] $\lim_{n \rightarrow +\infty}(n-\sqrt{n^2+5n})=0$
[/mm]
Erklärung: Der Ausdruck unter der Wurzel geht gegen unendlich. Eine Wurzel aus etwas unendlichem geht wieder gegen unendlich. Das n vor der Wurzel geht ebenfalls gegen unendlich. Dann steht ja irgendwann quasi [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] da, was ja 0 bedeutet. Geht das so?
[mm] $\lim_{n \rightarrow -\infty}(n-\sqrt{n^2+5n})= \text{nicht definiert, da Wurzel nicht neg. werden darf}$
[/mm]
[mm] $\lim_{n \rightarrow 0}(n-\sqrt{n^2+5n})=0$
[/mm]
Ist das soweit alles richti?
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Hallo bandchef,
> Bestimmen sie die Grenzwerte (falls vorhanden) von
> folgender Folge:
>
> [mm]a_n:=n-\sqrt{n^2+5n}[/mm]
> Also meine Ergebnisse:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow +\infty}(n-\sqrt{n^2+5n})=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Erklärung: Der Ausdruck unter der Wurzel geht gegen
> unendlich. Eine Wurzel aus etwas unendlichem geht wieder
> gegen unendlich. Das n vor der Wurzel geht ebenfalls gegen
> unendlich. Dann steht ja irgendwann quasi [mm]\infty - \infty[/mm]
> da, was ja 0 bedeutet. Geht das so?
Nein!
Tja, genau das ist der Haken, [mm]\infty-\infty[/mm] ist undefiniert, das kann alles mögliche sein ...
>
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow -\infty}(n-\sqrt{n^2+5n})= \text{nicht definiert, da Wurzel nicht neg. werden darf}[/mm]
>
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow 0}(n-\sqrt{n^2+5n})=0[/mm]
Naja, der Ausdruck ist nur für [mm] $n\ge [/mm] 0$ definiert, da ist die Betrachtung von [mm] $\lim\limits_{n\to -\infty}$ [/mm] nicht besonders sinnvoll.
Außerdem geht es doch um Folgen, das sind nunmal Abbildungen von [mm] $\IN\to\IR [/mm] \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] \IC$
[/mm]
Hier ist nur der Lines für [mm] $n\to+\infty$ [/mm] gesucht!
>
>
>
> Ist das soweit alles richti?
Nein, hier kommst du weiter, indem du [mm]n-\sqrt{n^2+5n}[/mm] mit [mm]n\blue{+}\sqrt{n^2+5n}[/mm] erweiterst.
So zu erweitern, dass die 3.binomische Formel entsteht, ist ein probates Mittel um Summen oder Differenzen von Wurzeltermen loszuwerden (also die Wurzeln  )
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Mir ist gerade leider aufgefallen, dass ich den Term falsch abgeschrieben habe er lautet so:
$ [mm] a_n:=n-\sqrt{n^2-5n} [/mm] $
Wenn ich nun erweitere dann komm ich auf das hier:
[mm] $a_n:=n-\sqrt{n^2-5n} [/mm] = [mm] n-\sqrt{n^2-5n} \cdot \frac{n+\sqrt{n^2-5n}}{n+\sqrt{n^2-5n}} [/mm] = ... = [mm] \frac{5n}{n+\sqrt{n^2-5n}}$
[/mm]
Jetzt hab ich aber im Nenner wieder eine Wurzel... Wie bring ich die weg?
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Hallo nochmal,
> Mir ist gerade leider aufgefallen, dass ich den Term falsch
> abgeschrieben habe er lautet so:
>
> [mm]a_n:=n-\sqrt{n^2-5n}[/mm]
>
> Wenn ich nun erweitere dann komm ich auf das hier:
>
> [mm]a_n:=n-\sqrt{n^2-5n} = a_n:=n-\sqrt{n^2-5n} \cdot \frac{a_n:=n+\sqrt{n^2-5n}}{a_n:=n+\sqrt{n^2-5n}} = ... = \frac{5n}{a_n:=n+\sqrt{n^2-5n}}[/mm]
Ich versteht diese kryptische Schreibweise zwar nicht, aber am Ende kommt
[mm]\frac{5n}{n+\sqrt{n^2-5n}[/mm] heraus.
Klammere nun unter der Wurzel [mm]n^2[/mm] aus und ziehe es als n heraus.
Dann im Nenner n ausklammern, gegen das n im Zähler kürzen und den Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] machen ...
>
> Jetzt hab ich aber im Nenner wieder eine Wurzel... Wie
> bring ich die weg?
Das ist sehr elementar und eine häufig wiederkehrende Umformung (auch in Klausuren ) - lohnt sich also zu merken.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke, jetzt hab ich das verstanden. Die kryptische Darstellung war ein Fehler meinerseits der durch copy and paste aufgetreten ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
So, mein Ergebnis:
[mm] $\frac{5}{1+\sqrt{1-\frac{5}{n}}}=2,5$
[/mm]
Richtig?
Ich hab dann gleich noch eine neue Aufgabe: [mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{sin(n)}{n}$.
[/mm]
Wie sieht's hier mit limes aus? im Argument vom Sinus kann doch nur von 0 - 1 stehen oder? Darf ich dann auch nur "limes gegen 1" anwenden? Muss man den Sinus durch eine Folge ersetzen?
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Hallo nochmal,
> So, mein Ergebnis:
>
> [mm]\frac{5}{1+\sqrt{1-\frac{5}{n}}}=2,5[/mm]
>
> Richtig?
Naja, gleich ist das nicht, ersetze das "=" durch [mm]\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}[/mm]
>
>
> Ich hab dann gleich noch eine neue Aufgabe: [mm]a_n := \frac{sin(n)}{n}[/mm].
>
> Wie sieht's hier mit limes aus? im Argument vom Sinus kann
> doch nur von 0 - 1 stehen oder?
Ja, sogar von $-1$ bis $1$; mit anderen Worten: der Zähler ist beschränkt, [mm] $|\sin(x)|\le [/mm] 1$
> Darf ich dann auch nur
> "limes gegen 1" anwenden? Muss man den Sinus durch eine
> Folge ersetzen?
Nein, zu bestimmen ist hier (wie immer bei Folgen) der Limes für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Der Zähler ist beschränkt, was macht der Nenner?
Was passiert also insgesamt?
Schön formal kannst du den GW mit dem Sandwichlemma beweisen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Der Zähler ist beschränkt, was macht der Nenner? - Darf alles werden außer 0.
Was passiert also insgesamt? Das muss ich doch ausrechnen, oder?
Schön formal kannst du den GW mit dem Sandwichlemma beweisen. Hab ich noch nie gehört. Was ist das?
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Hallo nochmal,
> Der Zähler ist beschränkt, was macht der Nenner? - Darf
> alles werden außer 0.
Die Frage ist doch, was mit dem Nenner für [mm]n\to\infty[/mm] passiert ...
Der Zähler daddelt zw. -1 und 1 hin- und her, der Nenner aber ...
>
> Was passiert also insgesamt? Das muss ich doch ausrechnen,
> oder?
>
> Schön formal kannst du den GW mit dem Sandwichlemma
> beweisen. Hab ich noch nie gehört. Was ist das?
Wenn du zwei Folgen [mm](a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN}[/mm] hast mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\alpha[/mm] und du eine weitere Folge [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm] hast mit
[mm]a_n\le c_n\le b_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] (oder ab einem [mm]n_0\in\IN[/mm], also für fast alle [mm]n\in\IN[/mm])
Dann ist [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm] ebenfalls konvergent mit GW [mm]\alpha[/mm]
Das nennt sich Sandwich-Lemma oder Einschnürungslemma
Findest du solche Folgen, die deine Folge "einschnüren"?
Nochmal der Tipp: Bedenke: [mm]-1\le\sin(n)\le 1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab mir jetzt gerade zum Einschnürungslemma auf wikipedia die Grafik angesehen. Mir ist jetzt zumdinestens bildlich klar was das macht. Wie ich nun allerdings Folgen finde, die mir meine Folge einschnürt weiß ich immer noch nicht...
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Hallo nochmal,
> Ich hab mir jetzt gerade zum Einschnürungslemma auf
> wikipedia die Grafik angesehen. Mir ist jetzt zumdinestens
> bildlich klar was das macht. Wie ich nun allerdings Folgen
> finde, die mir meine Folge einschnürt weiß ich immer noch
> nicht...
Wie auch, wenn du nur 10 Sek. über ne Antwort nachdenkst.
Ich habe doch schon fast den kompletten Beweis hingeschrieben.
Du musst es nur zusammenbasteln.
Ich schreibe es weder nochmal farbig noch im kleinsten Detail auf noch singe ich es vor.
Das ist der klitzekleine Rest an Arbeit, der für dich bleibt.
Wenn du dir meine Antworten durchliest (mit Muße!!), dann ist es klar!
Also knie dich etwas mehr rein.
Das ist hier ja als Hilfe zur Selbsthilfe gedacht und nicht als Lösungsmaschine, die vollst. detaillierte Lösungen auf Kommando ausspuckt.
Also mal ran jetzt!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Gut.
Ich hab mittlerweile rausgefunden (durch Wikipedia), dass [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $h(x)=-x^2$ [/mm] Schranken für die Funktion [mm] f(x)=x^2\cdot sin(\frac{1}{x})$ [/mm] sind.
So ich hab nun quasi die Funktion [mm] $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$. [/mm] Wie findet man dazu nun die Funktionen die als Schranken dienen? Das erschließt sich mir weder aus Wikipedia noch aus deinen Beiträgen...
Was natürlich auch klar ist, dass vom Zähler her [mm] $-1\leq [/mm] sin(n) [mm] \leq [/mm] +1$ folgt. Wie nun der Nenner reagiert weiß ich nicht, außer das man nicht durch 0 teilen darf...
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Hallo nochmal,
> Gut.
>
> Ich hab mittlerweile rausgefunden (durch Wikipedia), dass
> [mm]g(x)=x^2[/mm][/mm] und [mm]h(x)=-x^2[/mm][/mm] Schranken für die Funktion
> [mm]f(x)=x^2\cdot sin(\frac{1}{x})$[/mm] sind.
Jo, mag sein, hat aber nix mit deiner gegebenen Folge zu tun
>
> So ich hab nun quasi die Funktion [mm]f(x)=\frac{sin(x)}{x}[/mm].
> Wie findet man dazu nun die Funktionen die als Schranken
> dienen? Das erschließt sich mir weder aus Wikipedia noch
> aus deinen Beiträgen...
>
> Was natürlich auch klar ist, dass vom Zähler her [mm]-1\leq sin(n) \leq +1[/mm]
> folgt. Wie nun der Nenner reagiert weiß ich nicht, außer
> das man nicht durch 0 teilen darf...
Das passiert ja auch nicht.
Die n sind nat. Zahlen, also [mm]n\in\{1,2,3,4,.....\}[/mm]
Und du betrachtest [mm]n\to\infty[/mm], also groooooooooße n
Wenn [mm]-1\le \sin(n)\le 1[/mm] ist.
Dann ist doch [mm]-\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n}[/mm] oder nicht?
Das ist doch nun kein weltbewegender Schritt. Einfach die komplette Ungleichung [mm]-1\le\sin(n)\le 1[/mm] mit [mm]\frac{1}{n}>0[/mm] multipliziert ...
Du hast also deine Folge eingequetscht zw. die Folgen [mm]\left(-\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] und [mm]\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
Was treiben diese beiden Folgen für [mm]n\to\infty[/mm]
Und was sagt das das Sandwich-Lemma zum GW deiner gegebenen Folge?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Und du betrachtest $ [mm] n\to\infty [/mm] $, also groooooooooße n
Wenn $ [mm] -1\le \sin(n)\le [/mm] 1 $ ist.
Dann ist doch $ [mm] -\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n} [/mm] $ oder nicht? "
Sorry, aber gehört die erste Zeile zur zweiten Zeile des obigen Zitats? Ich verstehe aber trotzdem nicht wie du einfach darauf kommst geteilt durch n zu schreiben. Ist es wegen dem n im Nenner meiner Folge?
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Hallo nochmal,
ich gebe nicht auf!
Aber gleich brauche ich ein ![[bier]](/images/smileys/bier.gif "[bier]")
> Zitat: "Und du betrachtest [mm]n\to\infty [/mm], also groooooooooße n
>
> Wenn [mm]-1\le \sin(n)\le 1[/mm] ist.
>
> Dann ist doch
> [mm]-\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n}[/mm] oder nicht?
> "
>
> Sorry, aber gehört die erste Zeile zur zweiten Zeile des
> obigen Zitats?
Ich meinte damit, dass du ja den GW deiner Folge [mm]\left(\frac{\sin(n)}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] bestimmen willst.
Und da lässt du halt [mm]n\to\infty[/mm] laufen, [mm]n[/mm] wird also seeeeeeeehr groooooooß
> Ich verstehe aber trotzdem nicht wie du
> einfach darauf kommst geteilt durch n zu schreiben. Ist es
> wegen dem n im Nenner meiner Folge?
Ja sicher, wir wollen ja irgendwie auf deine Folge kommen und die einquetschen zw. zwei Folgen, die denselben einfach zu berechnenden (oder bekannten) GW (für [mm]n\to\infty[/mm]) haben.
Und aus der einfachen Tatsache, dass der Sinus beschränkt ist, also dass gilt:
[mm]-1\le\sin(n)\le 1[/mm] kommt man eben zur gegebenen Folge durch Mult. mit [mm]\frac{1}{n}[/mm]
Wie sieht's nun mit dem GW aus?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Bei mir sieht das jetzt so aus:
[mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{sin(n)}{n} \overbrace{\Rightarrow}^{\text{wegen Zähler}} -1\le \sin(n)\le [/mm] 1 [mm] \overbrace{\Rightarrow}^{\text{wegen Nenner}} -\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n}$
[/mm]
Jetzt hab ich quasi meine zwei weitere Folgen:
[mm] $b_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $c_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{n}$
[/mm]
Grenzübergang der zwei weiteren Folgen:
[mm] $b_n [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow +\infty}\left( -\frac{1}{n} \right) \rightarrow [/mm] 0$
[mm] $c_n [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow +\infty}\left( \frac{1}{n} \right) \rightarrow [/mm] 0$
Laut diesem Zitat folgt dann der Grenzwert "0" auch für die Folge [mm] $a_n$
[/mm]
Zitat:
"Wenn du zwei Folgen $ [mm] (a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN} [/mm] $ hast mit $ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\alpha [/mm] $ und du eine weitere Folge $ [mm] (c_n)_{n\in\IN} [/mm] $ hast mit
$ [mm] a_n\le c_n\le b_n [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ (oder ab einem $ [mm] n_0\in\IN [/mm] $, also für fast alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $)
Dann ist $ [mm] (c_n)_{n\in\IN} [/mm] $ ebenfalls konvergent mit GW $ [mm] \alpha [/mm] $"
Ist das jetzt richtig?
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Hallo nochmal,
> Bei mir sieht das jetzt so aus:
>
> [mm]a_n := \frac{sin(n)}{n} \overbrace{\Rightarrow}^{\text{wegen Zähler}} -1\le \sin(n)\le 1 \overbrace{\Rightarrow}^{\text{wegen Nenner}} -\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n}[/mm]
>
> Jetzt hab ich quasi meine zwei weitere Folgen:
>
> [mm]b_n = -\frac{1}{n}[/mm] und [mm]c_n = -\frac{1}{n}[/mm]
>
> Grenzübergang der zwei weiteren Folgen:
>
> [mm]b_n = \lim_{n \rightarrow +\infty}\left( -\frac{1}{n} \right) \rightarrow 0[/mm]
>
> [mm]c_n = \lim_{n \rightarrow +\infty}\left( \frac{1}{n} \right) \rightarrow 0[/mm]
>
>
> Laut diesem Zitat folgt dann der Grenzwert "0" auch für
> die Folge [mm]a_n[/mm]
>
> Zitat:
> "Wenn du zwei Folgen [mm](a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN}[/mm] hast
> mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\alpha[/mm]
> und du eine weitere Folge [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm] hast mit
>
> [mm]a_n\le c_n\le b_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] (oder ab einem
> [mm]n_0\in\IN [/mm], also für fast alle [mm]n\in\IN [/mm])
>
> Dann ist [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm] ebenfalls konvergent mit GW [mm]\alpha [/mm]"
>
>
> Ist das jetzt richtig?
Ja, das ist ganz gut!
Nur die Folgerungspfeile zu Beginn sind etwas "komisch".
Beginne vllt. so:
Wegen [mm]1-\le\sin(n)\le 1[/mm] ist ...
Gruß und ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Meinst du so:
wegen [mm] $-1\le \sin(n)\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow a_n [/mm] := [mm] \frac{sin(n)}{n} \Rightarrow -\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n} [/mm] $
Ist es jetzt besser?
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Hallo nochmal,
> Meinst du so:
>
> wegen [mm]-1\le \sin(n)\le 1 \Rightarrow a_n := \frac{sin(n)}{n} \Rightarrow -\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n}[/mm]
>
> Ist es jetzt besser?
Ja, ohne Mittelteil, der ergibt in der Folgerungskette wenig Sinn:
Ich würd's vllt. so machen:
wegen [mm]-1\le \sin(n)\le 1[/mm] ist [mm]-\frac{1}{n}\le\underbrace{\frac{\sin(n)}{n}}_{=a_n}\le\frac{1}{n}[/mm] usw.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab das jetzt so stehen:
wegen $ [mm] -1\le \sin(n)\le [/mm] 1 $ ist $ [mm] -\frac{1}{n}\le\underbrace{\frac{\sin(n)}{n}}_{=a_n}\le\frac{1}{n} [/mm] $
Grenzbetrachtung:
[mm] $\underbrace{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left( -\frac{1}{n}\right) = 0, \lim_{n\rightarrow +\infty}\left( \frac{1}{n}\right) = 0}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \frac{sin(n)}{n} \right) [/mm] = 0$
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So kann man das schreiben.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Bitte eröffne in Zukunft für neue Aufgaben auch einen neuen eigenständigen Thread.
Gruß
Loddar
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