Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | Eine konvergente Folge [mm] (a_{n}) [/mm] erfüllt die Bedingung [mm] a_{n}^{2} [/mm] = [mm] 4a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^{2}}-4
[/mm]
Wie lautet der Grenzwert der Folge? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich brauch dringend Hilfe bei der Aufgabe und wollte euch bitten mir zu helfen. Kann jemand beschreiben wie ich vorgehen soll, um die Aufgabe zu lösen?
Danke im voraus
|
|
| |
|
Welche Aufgabe? Es wird doch nur eine Aussage gemacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Ohh... Entschuldigung, hab sie wohl vergessen.
Also es wird nach dem Grenzwert der Folge gefragt.
|
|
|
| |
|
Wenn wirklich bei den beiden a-s der Index nur n ist (und nicht n+1 oder n-1), hast du doch einfach nur eine quadratische Gleichung für [mm] a_n [/mm] zu lösen. Du bekommst einen Term für jedes [mm] a_n [/mm] und kannst dir dann überlegen, was passiert, wenn n nach [mm] \infty [/mm] geht. Oder sind die Indizes doch verschieden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Muss ich aber nicht zu erst nach [mm] a_{n} [/mm] auflösen um die Folge zu erhalten.
Und ist die Funktion nicht reukursiv, wie sie da so stehen würde, denn sie ruft ja die Folge in sich immer wieder auf.
|
|
|
| |
|
> Muss ich aber nicht zu erst nach [mm]a_{n}[/mm] auflösen um die
> Folge zu erhalten.
Genau das hat ja HJKweseleit auch vorgeschlagen !
> Und ist die Funktion nicht rekursiv, wie sie da so stehen
> würde, denn sie ruft ja die Folge in sich immer wieder
> auf.
Die vorliegende Gleichung ist keine Rekursionsgleichung
(falls du sie richtig wiedergegeben hast). Sie stellt nur
die Glieder [mm] a_n [/mm] nicht in expliziter, sondern in impliziter
Form dar.
Du kannst aber aus der impliziten Form leicht eine
explizite Darstellung machen, wenn du eben nur die
quadratische Gleichung auflöst. Denk dran, dass
dabei allenfalls mehr als eine Lösung rauskommen
kann.
Übrigens gibt es, wenn man von der Existenz eines
Grenzwertes wirklich ausgehen darf, sogar eine
nette und simple Methode, diesen Grenzwert zu
berechnen, ohne sich überhaupt um die Glieder [mm] a_n [/mm]
im Einzelnen kümmern zu müssen !
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Wenn da stehen würde: [mm] a_n [/mm] = [mm] 7-\bruch{1}{n} [/mm] wäre die Folge nicht rekursiv, weil sich das n-te Glied nicht aus Vorgängern errechnet. Daher habe ich dich ja gefragt, ob es wirklich [mm] a_n^2=4a_n [/mm] ... heißt und nicht z.B. [mm] a_{n+1}^2=4a_n [/mm] oder [mm] a_n^2=4a_{n-1}..., [/mm] denn dann würde sich ja jedes Glied aus seinem Vorgänger errechnen.
So, wie du es geschrieben hast, ist die Folge nicht rekursiv, weil keine aufeinanderfolgenden Folgeglieder darin auftauchen. Daher musst du - ganz richtig - nach [mm] a_n [/mm] auflösen, indem du eine quadratische Gleichung löst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Also wenn ich nach [mm] a_{n} [/mm] umstelle, heißt die Gleichung ja wie folgt:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{4a_{n}+\bruch{1}{n^{2}}-4}
[/mm]
Wenn n nun gegen unendlich läuft ist ja das ergebnis von [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] gleich null und die -4 bleibt erhalten.
Das heißt das nun unter der Wurzel:
[mm] \wurzel{4a_{n}-4}
[/mm]
und wie gehe ich nun weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 22.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Also wenn ich nach [mm]a_{n}[/mm] umstelle, heißt die Gleichung ja
> wie folgt:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{4a_{n}+\bruch{1}{n^{2}}-4}[/mm]
Hallo,
[mm]a_n^2=4a_n+\frac{1}{n^2}-4[/mm]
entspricht der quadratischen Gleichung
[mm]a_n^2-4a_n+(4-\frac{1}{n^2})=0 [/mm]
Löse zunächst auf: [mm]a_n=2\pm \cdots[/mm] und lasse erst dann n gegen unendlich gehen.
Gruß Abakus
>
> Wenn n nun gegen unendlich läuft ist ja das ergebnis von
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] gleich null und die -4 bleibt erhalten.
>
> Das heißt das nun unter der Wurzel:
>
> [mm]\wurzel{4a_{n}-4}[/mm]
>
>
> und wie gehe ich nun weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Ich habe das nun so gemacht:
0 = [mm] a_{n}^{2}-4a_{n}+(4-\bruch{1}{n^{2}})
[/mm]
pq-Formel:
[mm] x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{\bruch{(-4)^{2}}{2}-(4-\bruch{1}{n^{2}})}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{4-4+\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{0 + \bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
Und wenn ich nun n gegen unendlich laufen lasse, ist ja [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] = 0,
somit ist der Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] gleich 2, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 So 22.09.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Ist das so richtig?
Diese Frage hat sich inzwischen erledigt, denke ich. Al-Chwarizmi hat Dir darauf schon eine Antwort gegeben.
Grüße
reverend
PS: Wir legen hier übrigens nicht nur Wert auf Eigenleistung (die Du klar erbringst), sondern auch auf wenigstens einen Gruß zu Anfang oder Ende. Das unterscheidet ein Forum vielleicht von einem Chat. Ist aber vielleicht auch nur Stil oder Gewohnheitssache oder altmodische Verbohrtheit mathematisch Interessierter... - aber so ist es halt. 
|
|
|
| |
|
> Ich habe das nun so gemacht:
>
> 0 = [mm]a_{n}^{2}-4a_{n}+(4-\bruch{1}{n^{2}})[/mm]
>
> pq-Formel:
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{\bruch{(-4)^{2}}{2}-(4-\bruch{1}{n^{2}})}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{4-4+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{0 + \bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
... und das willst du so stehen lassen ??
das geht doch klar noch einfacher !
> Und wenn ich nun n gegen unendlich laufen lasse, ist ja
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] = 0, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du meinst: [mm] $\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{n^{2}}\ [/mm] =\ 0$
> somit ist der Grenzwert der Folge [mm]a_{n}[/mm] gleich 2, oder?
Ja.
Kleine Zusatzfrage:
| Aufgabe | Wie viele konvergente Zahlenfolgen [mm] [/mm] mit
der Eigenschaft, dass
$ [mm] a_{n}^{\ 2}\ [/mm] =\ [mm] 4\,*\,a_{n} [/mm] \ +\ [mm] \bruch{1}{n^{2}}-4 [/mm] $ ( für alle [mm] n\in\IN [/mm] )
gibt es ? |
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Danke für deine Antwort, und auch an großes Danke an HJKweseleit, Abakus, und nochmals an dich für eure Hilfe :D
Zur Frage:
Eine sehr Gute Frage :D
Da bin ich glaub ich überfragt :S
Hast du denn einen Ansatz, wie man dies lösen könnte???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Wenn ich jetzt mal so raten würde, würd ich mir denken 2?
Da ich ja auch zum Schluss [mm] a_{n} [/mm] = 2 kriege :S
Grüße
Hamade9
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Wenn ich jetzt mal so raten würde, würd ich mir denken
> 2?
Richtig! Der Kandidat wird gebeten, sich einen der Hauptpreise auszusuchen...
> Da ich ja auch zum Schluss [mm]a_{n}[/mm] = 2 kriege :S
...und am Studioausgang wieder abzugeben.
Die Begründung ist vollkommen verkehrt.
Was sagt Dir das Symbol [mm] \pm [/mm] in der p/q-Formel?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 So 22.09.2013 | | Autor: | reverend |
Kleiner Nachtrag:
ich habe Dich vorhin auf eine falsche Fährte geführt, sorry. Die naheliegende Lösung ist 2. Dann lässt sich eine ganz einfache Bildungsvorschrift für die beiden gemeinten Folgen angeben.
Allerdings kann man Folgen ja auch anders definieren als über eine einheitliche Bildungsvorschrift.
Und dann gibt es viel, VIEL mehr Möglichkeiten... Denk mal drüber nach und gib mindestens eine dritte Folge an, die die Bedingung auch erfüllt.
Viel Spaß beim Knobeln!
lg,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 22.09.2013 | | Autor: | hamade9 |
Das [mm] \pm [/mm] sagt uns ja, wir addieren zu der Mitte, wo die beiden punkte die x-Achse schneiden das unterhalb der Wurzel dazu oder weg.
Gruß Hamade9
|
|
|
| |
|
> Tipp: Die Antwort auf die Frage ist einstellig.
Absolut einverstanden !
Es kommt aber dabei noch ein wenig drauf an, was an
einer solchen Stelle stehen darf - ist es zum Beispiel
auch erlaubt, eine Dezimalziffer einer geeigneten
Drehung zu unterwerfen ?
Gruß  Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Mo 23.09.2013 | | Autor: | reverend |
> > Tipp: Die Antwort auf die Frage ist einstellig.
>
> Absolut einverstanden !
>
> Es kommt aber dabei noch ein wenig drauf an, was an
> einer solchen Stelle stehen darf - ist es zum Beispiel
> auch erlaubt, eine Dezimalziffer einer geeigneten
> Drehung zu unterwerfen ?
Ich fall um... Nein, um ehrlich zu sein, ist die besagte Ziffer mit mir in Deckung gegangen. (If you see the flash, duck and cover!).
Das ist schon eine Achterbahnfahrt des Denkens, ein binäres Auf und Ab. Ich glaub, ich sollte mir mal ein Zimmer im Hotel Hilbert nehmen und mich richtig ausschlafen.
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Ich glaub, ich sollte mir mal ein Zimmer im Hotel
> Hilbert nehmen und mich richtig ausschlafen.
Oh, ich weiß nicht, ob das eine gute Idee ist ...
Da wirst du doch ständig wieder geweckt und
meilenweit durch die Hotelflure zu einem neuen
Zimmer geschickt ! Da kommst du bestimmt
nicht zur Ruhe - außer es gelänge dir, Einfluss
auf die Umordnungs-Algorithmen der Rezeption
zu nehmen ...
Vielleicht gelingt dir das ja mit deinen mathe-
matischen und kulinarischen Künsten - etwa
mit deiner legendären, (p)flaumenleichten
![[]](/images/popup.gif) "Mousse aux prunes"
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Ich habe das nun so gemacht:
> >
> > 0 = [mm]a_{n}^{2}-4a_{n}+(4-\bruch{1}{n^{2}})[/mm]
> >
> > pq-Formel:
> >
> > [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{\bruch{(-4)^{2}}{2}-(4-\bruch{1}{n^{2}})}[/mm]
>
> >
> > [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{4-4+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
> >
> > [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{0 + \bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
> >
> > [mm]x_{1/2}[/mm] = 2 [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
>
> ... und das willst du so stehen lassen ??
>
> das geht doch klar noch einfacher !
das kann er auch so stehen lassen, denn [mm] $\sqrt{\;}$ [/mm] ist (rechts-)stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] und
[mm] $1/n^2 \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm]
Aber, damit der Kommentar nicht unter Nichtbeachtung leidet:
[mm] $\sqrt{1/n^2}\;=\;\sqrt{1}/\sqrt{n^2}\;=\;1/|n|\;=\;1/n$
[/mm]
kann man hier benutzen. (Man kann auch "schnell" direkt [mm] $\sqrt{1/n^2}\;=\;1/n$
[/mm]
hinschreiben, wenn man das so will...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Kleine Zusatzfrage:
>
> Wie viele konvergente Zahlenfolgen [mm][/mm] mit
> der Eigenschaft, dass
>
> [mm]a_{n}^{\ 2}\ =\ 4\,*\,a_{n} \ +\ \bruch{1}{n^{2}}-4[/mm] (
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] )
>
> gibt es ?
da ist nur die Bedingung
[mm] $(a_n-2)^2=\frac{1}{n^2}$
[/mm]
zu erfüllen: Da kann ich sehr viele basteln, denn wir brauchen nur die Bauart:
[mm] $a_n-2=(-1)^{n_k}*\frac{1}{n},$
[/mm]
wobei (o.E.)
[mm] $n_k \;\in\;\{0,1\}$ [/mm] für $k [mm] \in \IN$
[/mm]
beliebig gewählt werden kann. Das wären also
[mm] $|\{0,1\}^{\IN}|$ "$\;=\;2^{\IN}$"
[/mm]
Folgen, die sowas erfüllen. Das sind sehr sehr viele!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ja, genau deshalb dachte ich, dies könnte
eine interessante kleine Zusatzfrage sein ...
Sie mag geeignet sein, zu testen, ob jemand
die Definition des Begriffs "Zahlenfolge"
wirklich verstanden hat.
Allerdings müssen wir dann damit leben, dass
es uns für die meisten dieser theoretisch
möglichen Folgen absolut unmöglich bleibt,
sie konkret festzulegen ... aber dieses Problem
haben wir ja auch schon (spätestens) bei den
reellen Zahlen.
Gruß , Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Ja, genau deshalb dachte ich, dies könnte
> eine interessante kleine Zusatzfrage sein ...
> Sie mag geeignet sein, zu testen, ob jemand
> die Definition des Begriffs "Zahlenfolge"
> wirklich verstanden hat.
> Allerdings müssen wir dann damit leben, dass
> es uns für die meisten dieser theoretisch
> möglichen Folgen absolut unmöglich bleibt,
> sie konkret festzulegen ... aber dieses Problem
> haben wir ja auch schon (spätestens) bei den
> reellen Zahlen.
richtig - [mm] $\IR$ [/mm] kann man ja mit [mm] $\{0,1\}^{\IN}$ [/mm] identifizieren (gerade die Informatiker
freuen sich ja über die Binärdarstellung...)
Ich war mir bei der Zusatzfrage nicht sicher, ob Du sie so meintest, denn
dass ein Schüler da einfach denkt:
"Naja, [mm] $a_n-2=1/n$ [/mm] oder [mm] $a_n-2=-1/n$ [/mm] sind zwei Möglichkeiten"
(und damit 'vergisst/übersieht', dass es aber für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] zwei gibt!)
wäre eigentlich so meine erste Vermutung (und dieser "Denkfehler" kann
ja auch schnell mal entstehen, wenn man nur halbkonzentriert bei der
Sache ist...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Mo 23.09.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al, hallo Marcel,
es bleibt mehr als ein Problem.
> > Ja, genau deshalb dachte ich, dies könnte
> > eine interessante kleine Zusatzfrage sein ...
Wie bei den meisten kleinen Zusatzfragen allerdings mit der nötigen Portion Hinterlist und der Gefahr jeder Gratwanderung. Früher gab es da das Wort "Heimtücke", aber es gerät außer Gebrauch. Leider.
Trotzdem ist der produktive Anteil der Zusatzfrage ungleich größer als der heimtückische (noch wesentlich gebräuchlicher, dies Adjektiv).
Anmerkung: versuche gerade Ellipsen. Sprachliche.
> > Sie mag geeignet sein, zu testen, ob jemand
> > die Definition des Begriffs "Zahlenfolge"
> > wirklich verstanden hat.
Das stimmt. Ich habe mich mal wieder selbst in Frage stellen dürfen. Das ist von Zeit zu Zeit sehr heilsam.
> > Allerdings müssen wir dann damit leben, dass
> > es uns für die meisten dieser theoretisch
> > möglichen Folgen absolut unmöglich bleibt,
> > sie konkret festzulegen ... aber dieses Problem
> > haben wir ja auch schon (spätestens) bei den
> > reellen Zahlen.
Kleine Intervention: ein verschwindend kleiner Teil der rellen Zahlen, nämlich nur überabzählbar unendlich viele, werfen dieses Problem auf (danke, ich habe meinen Cantor gelesen). Eine konkrete Festlegung ist z.B. für bestimmte Teilmengen von [mm] \IR [/mm] möglich, so für die natürlichen, ganzen, rationalen und (!) algebraischen Zahlen. Die Hierarchie(n) der Unendlichkeit(en) beginnen da die Zähne zu fletschen.
> richtig - [mm]\IR[/mm] kann man ja mit [mm]\{0,1\}^{\IN}[/mm] identifizieren
> (gerade die Informatiker
> freuen sich ja über die
> Binärdarstellung...)
Ich gehöre nicht zum genannten Volk, freue mich aber trotzdem. Unter den unendlich vielen Stellenwertsystemen ist mir das 2-adische halt auch am liebsten. Es ist so rigoros elementar, stoisch und universell. Man möchte ihm fast einen Leibnitzkeks geben. Wer das t nicht mag, kann es mir auf den Teller legen, aber bitte nicht alle.
> Ich war mir bei der Zusatzfrage nicht sicher, ob Du sie so
> meintest, denn
> dass ein Schüler da einfach denkt:
>
> "Naja, [mm]a_n-2=1/n[/mm] oder [mm]a_n-2=-1/n[/mm] sind zwei Möglichkeiten"
>
> (und damit 'vergisst/übersieht', dass es aber für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> zwei gibt!)
>
> wäre eigentlich so meine erste Vermutung (und dieser
> "Denkfehler" kann
> ja auch schnell mal entstehen, wenn man nur
> halbkonzentriert bei der
> Sache ist...)
Das habe ich vorhin mustergültig vorexerziert. Es ist eben so naheliegend falsch.
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi rev.,
> > Ich war mir bei der Zusatzfrage nicht sicher, ob Du sie so
> > meintest, denn
> > dass ein Schüler da einfach denkt:
> >
> > "Naja, [mm]a_n-2=1/n[/mm] oder [mm]a_n-2=-1/n[/mm] sind zwei
> Möglichkeiten"
> >
> > (und damit 'vergisst/übersieht', dass es aber für
> jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> > zwei gibt!)
> >
> > wäre eigentlich so meine erste Vermutung (und dieser
> > "Denkfehler" kann
> > ja auch schnell mal entstehen, wenn man nur
> > halbkonzentriert bei der
> > Sache ist...)
>
> Das habe ich vorhin mustergültig vorexerziert. Es ist eben
> so naheliegend falsch.
zum Glück (?) sind wir ja alle nur Menschen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine konvergente Folge [mm](a_{n})[/mm] erfüllt die Bedingung
> [mm]a_{n}^{2}[/mm] = [mm]4a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n^{2}}-4[/mm]
> Wie lautet der Grenzwert der Folge?
ich blicke hier in dem ganzen Thread nicht mehr durch, wo was angenommen
wird. Für die Lösung der Aufgabe braucht man die [mm] $a_n$ [/mm] nicht explizit angeben:
Nach Voraussetzung konvergiert [mm] ${(a_n)}_n,$ [/mm] wir setzen
[mm] $a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $a_n \to a_\infty$ [/mm] folgt dann auch
[mm] $\lim_{n \to \infty}({a_n}^2)={a_\infty}^2\,,$
[/mm]
und klar ist
[mm] $\lim_{n \to \infty} (\tfrac{1}{n^2}-4)=(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n^2})-4=-4\,.$
[/mm]
Mit den Rechenregeln für konvergente Folgen folgt aus
[mm] ${a_{n}}^2=4a_n+\frac{1}{n^2}-4$
[/mm]
dann
[mm] ${a_\infty}^2=\lim_{n \to \infty}{a_n}^2=\lim_{n \to \infty}(4a_n+\tfrac{1}{n^2}-4)=...=4a_\infty-4,$
[/mm]
also
[mm] ${a_\infty}^2+(-4)a_\infty+4=0\,.$
[/mm]
Mit
der  PQFormel, oder einfach, wenn Du beachtest, dass letzte Gleichung
nichts anderes als
[mm] $(a_\infty-2)^2=0$
[/mm]
ist (2e bin. Formel) bekommst Du dann auch nur einen potentiellen
Grenzwert - also ist das auch der gesuchte Wert.
Darauf wollte Al auch schon weiter oben hinaus (ich habe aber nicht den
ganzen Thread verfolgt, ob das weiter behandelt wurde... kann also sein,
dass ich das "doppelt" schreibe, weil es woanders schon so steht...).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[]](http://p7.storage.canalblog.com/71/52/372222/30088524.jpg){kind=small}
"Mousse aux prunes"