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| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo alle miteinander,
Habe ein größes Problem bei der bewäktigung dieser Aufgabe.
Die Definition kenn ich:
Wenn
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] : 0< [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
dann gilt : [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x) = a
d.h. ja dass ich, um z.zgn, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x) = a, für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine Zahl [mm] \delta_\varepsilon [/mm] > 0 finden muss, sodass wenn x weniger weiter entfernt als [mm] \delta_\varepsilon [/mm] von [mm] x_0 [/mm] liegt f(x) weniger als [mm] \varepsilon [/mm] von a liegt.
Also die Definition ist mir wohl bekannt, leider bekomme ich das nicht ganz auf die Kette wie ich dabei, wenn ich eine kongrete Funtion mit Grenzwert gegeben habe, vorgehen muss um dieses zu beweisen!!
Höffe jemand kann mir helfen...
viele Grüße, der mathedepp
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> Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Hallo alle miteinander,
>
> Habe ein größes Problem bei der bewäktigung dieser
> Aufgabe.
Hallo,
da hätte ich allerdings ein mindestens ebenso großes Problem: Man kann das nicht zeigen, weil [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}= \infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ach, tut mir leid angela, mit ist da ein Tippfehler unterlaufen:
Es soll heißen: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
So jetzt stimmts...
viele Grüße, mathedepp_ No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Sa 16.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo mathedepp_ No.1,
sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben. Gesucht ist [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass
[mm] $|1/x-1/2|<\varepsilon$ [/mm] fuer alle $x$ mit [mm] $|x-2|<\delta$. [/mm] Waehle
[mm] $\delta=\min\{1/2,\varepsilon\}$. [/mm] Dann ist
$|1/x-1/2|=|(2-x)/(2x)| [mm] \le |2-x|<\delta \le \varepsilon$.
[/mm]
Die erste Ungleichung folgt aus $|x-2|<1/2$.
hth
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Danke,
hab nur noch nicht ganz verstanden wie man darauf kommt, d.h. wie ich vorgehen muss.
Was bedeutet eigentlich [mm] \delta_\varepsilon [/mm] = min [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \varepsilon)??
[/mm]
viele Grüße, mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathedepp!
> Was bedeutet eigentlich [mm]\delta_\varepsilon[/mm] = min[mm](\bruch{1}{2}[/mm] , [mm]\varepsilon)??[/mm]
Das ist der kleinere von den beiden Werten [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\varepsilon$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Ja, mathematisch gesagt sieht es so aus:
[mm] \delta_\varepsilon [/mm] = [mm] min(\bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \varepsilon) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{für } \bruch{1}{2}<\varepsilon \\ \varepsilon, & \mbox{für } \varepsilon<\bruch{1}{2} \end{cases}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Sa 16.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Hm, wie soll ich dir darauf antworten?
In welchem Rahmen ist dir
denn die Aufgabe gestellt worden? Bei einer Analysisvorlesung?
Dann habt ihr sicherlich das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] zum
Nachweis der Stetigkeit einer Funktion im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] behandelt.
Nach diesem Kriterium bin ich vorgegangen. Habe mir also [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
vorgegeben und [mm] $\delta$ [/mm] so gesucht, dass gilt [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, [/mm]
also [mm] $|1/x-1/2|<\varepsilon$,
[/mm]
fuer alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$, [/mm] also [mm] $|x=2|<\delta$. [/mm] Dass in
[mm] $f(x)-f(x_0)=(2-x)/(2x)$ [/mm] die Differenz $2-x$ auftritt, ist schon mal ganz
schoen. Was etwas Kopfzerbrechen bereitet ist der Umstand, das $2x$
im Nenner auftaucht. Wie werde ich das los? Indem ich $x$ hinreichend gross
waehle. Deswegen das Herumjonglieren mit [mm] $\delta=\min\{\varepsilon,1/2\}$.
[/mm]
(Auf die Bedeutung hat Loddar hingewiesen, danke).
Man kann die Aufgabe auch anders loesen, wenn ihr andere Kriterien behandelt
habt. Z.B. reicht es auch auch aus zu zeigen, dass gilt [mm] $f(a_n)\to f(x_0)$ [/mm] fuer
*jede* Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n\to x_0$. [/mm] Oder du kannst ausnutzen, dass
$1/f$ stetig ist in [mm] $x_0$, [/mm] sofern $f$ stetig ist in [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $f(x_0)\ne [/mm] 0$.
Im allgemeinen setzt das aber ein Verstaendnis fuer das
[mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] voraus
Vielleicht konntest du gestern die bekannte Eheberaterin Efje van Damme im
Fernsehen verfolgen. Was war ihr Leitspruch zur Pflege einer Ehe?
"Arbeit, Arbeit, Arbeit!" So ist es auch mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium:
[/mm]
"Ueben, ueben, ueben!"
Scherz beiseite. Wenn du fragst, wie man darauf kommt, kann ich nur sagen:
Mit dem Ueben kommt die Erfahrung. Du wirst es bald selber merken.
hth
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Hallo zusammen,
ich versuche mich an dem selben übungsblatt wie mathedepp...
verstehe ich das richtig, dass der trick dabei ist das richtig javascript:x();
delta zu wählen???
lg
PetraLustig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 So 17.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Petra,
wenn ich deine Frage richtig verstehe: Ja, du musst
zu vorgegebem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein geeignetes [mm] $\delta>0$
[/mm]
finden.
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Entschuldigung , wenn ich nochmal nachfrage, aber ich habe leider immernoch nicht verstanden ich ich bei dem Beweis genu vorgehen muss und wie man darauf kommt dass [mm] \delta_\varepsilon [/mm] = min (1/2, [mm] \varepsilon) [/mm] sein muss....
wie fang ich denn bei so einem beweis an???
viele grüße, der mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 So 17.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin,
bin etwas ratlos. Vielleicht koennte bitte jemand anders weiterhelfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 17.12.2006 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Vorab: ich bin selbst erst im 1. Semester und finde das Thema Stetigkeit bisher auch das schwerste in Analyis.. es kann also sein, das hier jetzt Unfug steht, dann bitte ich um Aufklärung.
Also.. los gehts.
> ...ich habe leider immernoch nicht verstanden ich ich bei dem Beweis
> genu vorgehen muss ...
Der Beweis besteht keineswegs darin, das passende [mm] \delta [/mm] zu finden. Das kannst du auf einem Schmierblatt machen.
Der Beweis besteht darin, zu zeigen, dass |f(x) - 1/2|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 wenn gilt: |x-2| < [mm] \delta. [/mm] Wie gesagt, musst du aber erstmal ein [mm] \delta [/mm] finden, mit dem der Beweis funktioniert.
>und wie man darauf kommt dass [mm] \delta [/mm] = min (1/2, [mm] \varepsilon) [/mm] sein >muss....
Das ist schon mal das erste Missverständnis: [mm] \delta [/mm] MUSS nicht = min (1/2, [mm] \varepsilon) [/mm] sein, es gibt sehr viele [mm] \delta [/mm] mit denen der Beweis funktioniert.
Alles was jetzt kommt kann auf ein Schmierblatt geschrieben werden:
Wir fangen so an als würden wir [mm] \delta [/mm] schon kennen:
wir wissen 0 < |x-2| < [mm] \delta
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2-x}{2x}| [/mm] = |2-x|* [mm] \bruch{1}{|2x|}.
[/mm]
Nun setzten wir beliebig [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
das heißt: |x-2|< [mm] \bruch{1}{2} [/mm] => x > 1.5 ^ x < 2.5. (ich hoffe du weißt, wie man diese Ungleichung umformt, sonst => üben!)
mit anderen worten für [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liegt x im Intervall (1.5: 2.5) Achtung: 1.5 und 2.5 sind selbst nicht im Intervall sondern nur alle Werte dazwischen.
Hieraus folgt nun:
|2x| > |2*1.5| = 3. Somit: [mm] \bruch{1}{|2x|}< \bruch{1}{3}
[/mm]
=> |2-x|* [mm] \bruch{1}{|2x|}, [/mm] < |2-x|* [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \delta* \bruch{1}{3}. [/mm]
Da [mm] \delta* \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] sein soll setzten wir [mm] \delta [/mm] = 3* [mm] \varepsilon. [/mm]
Jetzt haben wir ja 2 Bedingugen für |x-2| benutzt: |x-2| = 1/2 und |x-2| = 3* [mm] \varepsilon [/mm] und damit beide Bedingungen erfüllt sind nehmen wir für
[mm] \delta [/mm] den kleineren der beiden Werte, und das passiert über die Minimum-Funktion. [mm] \delta [/mm] = min {1/2, 3 [mm] \varepsilon [/mm] }.
Wie du siehst unterscheidet sich mein [mm] \delta [/mm] etwas vom [mm] \delta [/mm] des Vorredners, er hatte den Schritt 1/3*|x-2| < |x-2| gemacht und nicht extra hingeschrieben, glaube ich. So hat er ein anderes [mm] \delta [/mm] gefunden, mit dem der Beweis natürlich auch klappt.
Der Beweis ist dem Schmierblatt jetzt sehr ähnlich, deshalb wird auch häufig beides auf einmal gemacht. Vielleicht kannst du das ja selber. Er steht auch weiter oben schon, nur mit einem etwas anderem [mm] \delta.
[/mm]
Hmm also ich hoffe das ist jetzt richtig, habs auch hauptsächlich geschrieben um zu prüfen, ob ichs selber verstanden hab, deshalb bitte ich um Bestätigung/Kritik von anderen.
Blueman
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