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| Aufgabe | Pruefen Sie ob der Grenzwert existiert und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls
f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{ln|x|}{cot(x)} [/mm] |
ich habe den Cotangens als [mm] \frac{1}{tan x} [/mm] geschrieben und so eingesetzt: f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] $ln|x|*tan x$, das gibt ja [mm] -$\infty [/mm] * [mm] +\infty$.
[/mm]
Dann habe ich probiert und folgendes bekommen:
f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{cot x}}{\frac{1}{ln|x|}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{tan x}{\frac{1}{ln|x|}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{tan x}{\frac{1}{ln|x|}} [/mm] = [mm] \frac{0}{0}.
[/mm]
Nun L'Hospital angewendet und bekomme:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{1+tan^2 x}{- \frac{ln|x|}{x^2}}
[/mm]
Hier hänge ich nun und komme nicht weiter. War mein vorgehen falsch?
Gruß
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Hallo royalbuds,
> Pruefen Sie ob der Grenzwert existiert und bestimmen Sie
> diesen gegebenenfalls
>
> f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{ln|x|}{cot(x)}[/mm]
> ich
> habe den Cotangens als [mm]\frac{1}{tan x}[/mm] geschrieben und so
> eingesetzt: f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] [mm]ln|x|*tan x[/mm],
> das gibt ja -[mm]\infty * +\infty[/mm].
>
> Dann habe ich probiert und folgendes bekommen:
>
> f(x) = [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{cot x}}{\frac{1}{ln|x|}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{tan x}{\frac{1}{ln|x|}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{tan x}{\frac{1}{ln|x|}}[/mm] =
> [mm]\frac{0}{0}.[/mm]
>
> Nun L'Hospital angewendet und bekomme:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{1+tan^2 x}{- \frac{ln|x|}{x^2}}[/mm]
>
> Hier hänge ich nun und komme nicht weiter. War mein
> vorgehen falsch?
Deine Idee mit de l'Hôpital ist schon ganz richtig, ich würde es nur "andersherum" machen:
Es strebt [mm] $\frac{\ln(|x|)}{\cot(x)}$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{-\infty}{\pm\infty}$
[/mm]
Ich würde nun nicht umformen und hier direkt Zähler und Nenner getrennt ableiten
Das gibt [mm] $\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{\sin^2(x)}}=-\frac{\sin^2(x)}{x}$
[/mm]
Das strebt nun für [mm] $x\to [/mm] 0$ wieder gegen einen unbestimmten Ausdruck, nämlich [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital (Zähler und Nenner getrennt ableiten) und dann [mm] $x\to [/mm] 0$ betrachten ..
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Achso, also ist bei L'Hospital auch sowas wie [mm] \frac{+\infty}{-\infty} [/mm] erlaubt?
Gruß und Danke
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Hallo nochmal,
> Achso, also ist bei L'Hospital auch sowas wie
> [mm]\frac{+\infty}{-\infty}[/mm] erlaubt?
>
> Gruß und Danke
Ja, du brauchst, um de l'Hôpital anwenden zu können, einen Quotienten [mm] $\frac{p(x)}{q(x)}$, [/mm] der für [mm] $x\to x_0$ [/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] oder [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] strebt ...
LG
schachuzipus
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