Grenzwert einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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also ich hab hier ne aufgabe, wo ich zeigen soll dass eine reihe konvergent ist.
die reihe lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{2}}{(x^{2}+1)^{n}}
[/mm]
ich bin mirzienlich sicher, dass die reihe für x=0 gegen 0 konvergiert und für alle andern x gegen [mm] x^{2}+1
[/mm]
aber ich weiss nicht wie ich das zeigen soll? kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
edit
habs jetzt glaub ich selbst raus
also
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{2}}{(x^{2}+1)^{n}}
[/mm]
[mm] =x^{2} \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ 1}{(x^{2}+1)^{n}}
[/mm]
[mm] =x^{2} \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ 1}{x^{2}(x^{2}+1)^{n-1}} [/mm] - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}(x^{2}+1)^{n}}
[/mm]
[mm] =x^{2} [/mm] + 1
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Hallo,
Es ist schon richtig, das [mm]x^2[/mm] aus der Summe herauszuziehen, aber schau doch mal, was dann übrig bleibt -- eine geometrische Reihe. Damit kannst du argumentieren, sowohl was die Konvergenz als auch was den Grenzwert angeht.
Gruß,
- Marcel
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