Grenzwert einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 So 12.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | 2. Gegeben ist die Zahlenfolge [mm]1,\bruch{5}{6},\bruch{7}{11},\bruch{9}{18},\bruch{11}{27},....[/mm]
a.) Ermitteln Sie und [mm] a_n [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = g
b.) Berechnen Sie die Zahl [mm] n_0 [/mm] für die gilt, dass | [mm] a_n [/mm] - g | < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] für alle [mm] n>n_0 [/mm] |
a)
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n + 1}{n^2+2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+1}{n^2+2} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0 [/mm]
Frage:
Kann man bei Grenzwerten allgemein sagen, dass sobald ein Exponent (bei positiven Zahlen) im Nenner höher ist als im Zähler das Ganze gegen Null strebt, andersrum gegen unendlich und nur bei gleichen Exponenten gegen eine Zahl ?
b)
Muss ich hier die Folge nach n auflösen und [mm] \varepsilon [/mm] von n abziehen ?
Danke
Grüße
Lars
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Hallo Lars,
> 2. Gegeben ist die Zahlenfolge
> [mm]1,\bruch{5}{6},\bruch{7}{11},\bruch{9}{18},\bruch{11}{27},....[/mm]
> a.) Ermitteln Sie und [mm]a_n[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> = g
> b.) Berechnen Sie die Zahl [mm]n_0[/mm] für die gilt, dass | [mm]a_n[/mm] -
> g | < [mm]\bruch{1}{10}[/mm] für alle [mm]n>n_0[/mm]
> a)
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2n + 1}{n^2+2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+1}{n^2+2} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Frage:
> Kann man bei Grenzwerten allgemein sagen, dass sobald ein
> Exponent (bei positiven Zahlen) im Nenner höher ist als im
> Zähler das Ganze gegen Null strebt , andersrum gegen
> unendlich und nur bei gleichen Exponenten gegen eine Zahl
> ?  wenn man annimmt, dass 0 keine Zahl ist... JA kann man
> b)
> Muss ich hier die Folge nach n auflösen und [mm]\varepsilon[/mm]
> von n abziehen ?
Hier musst du die Ungleichung [mm] \left|\frac{2n+1}{n^2+2}-\red{0}\right|=\frac{2n+1}{n^2+2}<\frac{1}{10} [/mm] lösen
Dazu multipliziere die Ungleichung mit [mm] n^2+2, [/mm] bringe alles auf eine Seite und mach ne quadrat. Ergänzung...
Dann das erste größere ganzzahlige (natürliche) n nehmen, das passt
> Danke
> Grüße
> Lars
Selber Gruß
schachuzipus
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Wenn der Exp. im Zähler höher als im Nenner ist, kann natürlich auch - [mm] \infty [/mm] herauskommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 12.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo schachuzipus,
> Hier musst du die Ungleichung
> [mm]\left|\frac{2n+1}{n^2+2}-\red{0}\right|=\frac{2n+1}{n^2+2}<\frac{1}{10}[/mm]
> lösen
>
> Dazu multipliziere die Ungleichung mit [mm]n^2+2,[/mm] bringe alles
> auf eine Seite und mach ne quadrat. Ergänzung...
>
> Dann das erste größere ganzzahlige (natürliche) n nehmen,
> das passt
Oki :).
[mm] \bruch{2n+1}{n^2+2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] | * [mm] n^2+2
[/mm]
-> 2n+1 < [mm] \bruch{n^2 +2}{10} [/mm] | -2n -1
-> 0 < [mm] \bruch{n^2 +2}{10} [/mm] - 2n -1 | *10
-> 0 < [mm] n^2 [/mm] - 20n -8
[mm]n_1 = 10 + 6 * \wurzel{3} \approx 20,4 [/mm]
n = 21
Danke Grüße
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Durch Ausklammern der höchsten $n_$-Potenz kann man auch rechnerisch den Grenzwert bestimmen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+1}{n^2+2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2*\left(\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)}{n^2*\left(1+\bruch{2}{n^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{2}{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2}}{1+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0+0}{1+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{1} [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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Genauer: Durch Ausklammern der höchsten [mm]n_[/mm]-Potenz des Nenners (!) kann man auch
rechnerisch den Grenzwert bestimmen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n^5+1}{-4n^2+2} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2*\left(2n^3+\bruch{1}{n^2}\right)}{n^2*\left(-4+\bruch{2}{n^2}\right)} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n^3+\bruch{1}{n^2}}{-4+\bruch{2}{n^2}} \ = \ \bruch{\infty+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2}}{-4+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n^2}} \ = \ \bruch{\infty+0}{-4+0} \ = -\infty[/mm]
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
