Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 11.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
[mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
Erstmal hab ich mit dem Quotientenkriterium angefangen:
[mm] \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{(n)!*(n+1)}{(n+1)^{n}*(n+1)} [/mm] * [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n+1})^n [/mm] = [mm] (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n [/mm] = [(1 [mm] +\bruch{1}{n})^{-1}]^n [/mm] = (1 [mm] +\bruch{1}{n})^-n [/mm] = [(1 [mm] +\bruch{1}{n})^n ]^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
Und damit wäre es konvergent, da [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1
Stimmt das so?
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> Stimmt das so?
Hallo,
ja, das sieht sehr gut aus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 11.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Ich hatte noch ein Problem bei einer ähnlichen Aufgabe, bei der ich auch das Quotientenkriterium angewendet habe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^4}{3^n}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{3^n}{n^4}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^4}{3^{n}*3} [/mm] * [mm] \bruch{3^n}{n^4}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^4}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^4}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^4}{3n^4}
[/mm]
= [mm] (\bruch{n+1}{3n})^4
[/mm]
= [mm] (\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(3)})^4
[/mm]
= [mm] (\bruch{(1+\bruch{1}{n})}{(3)})^4
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{81}
[/mm]
Setze ich jedoch weiter oben Testwerte ein, so haut das nicht ganz hin und ich glaube, dass es irgendwo einen Fehler geben muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
> = [mm]\bruch{(n+1)^4}{3n^4}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{n+1}{3n})^4[/mm]
Du kannst hier die 3 im Nenner nicht mit in die Klammer ziehen, da diese zuvor auch keine Hochzahl mit [mm] $(...)^4$ [/mm] hatte.
Es muss also heißen:
$$= \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^4 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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