Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 30.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Gegeben ist eine beliebige Folge [mm] a_n, [/mm] wobei alle Folgeglieder > 0 und die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}a_k [/mm] Divergent ist.
Untersucht werden soll nun:
a) [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{k^2*a_k}{1+a_k}
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{\wurzel{a_k}}{k+a_k}
[/mm]
Wie gehe ich hier vor?
Vorallem bei a) und b) finde ich keine Lösung.
Habe Quotientenkriterium,Wurzelkriterium, Majoranten und Minorantenkriterium versucht.
Muss ich schon eine Fallunterscheidung machen?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du über die [mm] a_k [/mm] nichts weisst die könnten 1/k sein aber auch k oder [mm] k^{100}
[/mm]
ist es doch ziemlich sicher, dass auch die anderen Reihen divergieren. also versuch ne Minorante zu finden, die mit der ursprünglichen Reihe zusammenhängt. denn wenn $ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_k [/mm] $ divergiert, dann ja auch etwa $ [mm] 0.0001*\summe_{i=1}^{n}a_k [/mm] $ usw.
da alle folgenglieder >0 sind kann die Reihe auch nur gegen [mm] \infty [/mm] divergieren, also nicht einfach wie bei [mm] (-1)^n [/mm] 2 Häufungspunkte haben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 30.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Also ich fang mal bei a) an:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k}
[/mm]
So und ich weiß nur, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}a_k [/mm] divergiert.
Dann kann ich doch sagen, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k} \le \summe_{i=1}^{n}a_k.
[/mm]
Und es existiert ein x [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] x*\summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k} \ge \summe_{i=1}^{n}a_k.
[/mm]
Demnach ist [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k} \ge \bruch{1}{x}*\summe_{i=1}^{n}a_k.
[/mm]
Dies ist dann meine divergente Minorante?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hilbert!
Mir ist überhaupt nicht klar, wie Du auf Deine Abschätzungen kommst. ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Untersuche doch vielmehr, ob [mm] $\bruch{a_k}{1+a_k}$ [/mm] eine Nullfolge ist, was Voraussetzung für die entsprechende Reihenkonvergenz wäre.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:03 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Vielen Dank schonmal für die Hilfen.
Es kommt doch dann auf [mm] a_k [/mm] an, ob [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] eine Nullfolge bildet.
Wenn [mm] a_k [/mm] := [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] so wäre [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] aber trotzdem divergent.
Für alle [mm] a_k [/mm] die streng monoton wachsen, ginge [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] ja gegen 1. Unendlich oft die 1 summiert ergibt trotzdem Divergenz.
Wie gehe ich nun mit den Fällen um, wo [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] Nullfolge bildet?
Ich vermute, der Bruch divergiert immer, wenn [mm] \summe_{i=1}^{n}a_k [/mm] divergiert, aber wie zeige ich das?
Vielen Dank nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hilbert!
Formen wir mal etwas um:
[mm]\bruch{a_k}{1+a_k} \ = \ \bruch{a_k}{a_k*\left(\bruch{1}{a_k}+1\right)} \ = \ \bruch{1}{\bruch{1}{a_k}+1}[/mm]
Kann dieser Bruch nun den Grenzwert 0 haben, wenn gilt [mm]a_k \ > \ 0[/mm] ?
Was folgt daraus für die entsprechende Reihe?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Hallo Loddar,
Was ist mit [mm] a_k [/mm] = 1/n? als Beispiel.
Dann wird der Nenner für sehr große n auch sehr groß und damit geht der Bruch gegen 0. Oder Irre ich mich schon wieder?
Danke für deine Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht. Bilden die [mm] a_k [/mm] eine Nullfolge, was ja möglich ist, dann auch [mm] a_k/(1+a_k)
[/mm]
man braucht wohl eine fallunterscheidung.
a) die [mm] a_k [/mm] bilden eine Nullfolge, aber die summe divergiert, dann hat die nullfolge die eigenschaft [mm] a_k>1/k^r [/mm] mit r>1 also [mm] a_k\ge [/mm] 1/(c*k+b) c, b fest beliebig
b) die [mm] a_k [/mm] bilden keine Nullfolge, dann auch [mm] a_k/(1+a_k) [/mm] nicht
im fall b hat man also direkt Divergenz im Fall a) im wesentlichen weil auch
[mm] \bruch{\bruch{1}{c*n}}{1+\bruch{1}{c*n}}=\bruch{1}{cn+1} [/mm] divergiert.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Okay, das verstehe ich ersteinmal.
So etwas ähnliches hatte ich mir auch gedacht.
Ein paar Fragen stellen sich mir jedoch trotzdem.
Wenn [mm] a_k [/mm] keine Nullfolge ist, ist dann [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] zwingen auch keine?
Und deinen Beweis für a) verstehe ich noch nicht ganz.
Wieso muss [mm] a_k [/mm] dann zwingen größer [mm] \bruch{1}{k} [/mm] sein?
Aber schonmal vielen, vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, das verstehe ich ersteinmal.
> So etwas ähnliches hatte ich mir auch gedacht.
>
> Ein paar Fragen stellen sich mir jedoch trotzdem.
> Wenn [mm]a_k[/mm] keine Nullfolge ist, ist dann [mm]\bruch{a_k}{1+a_k}[/mm]
> zwingen auch keine?
Sei [mm] b_k:= \bruch{a_k}{1+a_k}. [/mm] Dann ist [mm] a_k= \bruch{b_k}{1-b_k}.
[/mm]
Man sieht: [mm] (a_k) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (b_k) [/mm] ist eine Nullfolge.
>
> Und deinen Beweis für a) verstehe ich noch nicht ganz.
> Wieso muss [mm]a_k[/mm] dann zwingen größer [mm]\bruch{1}{k}[/mm] sein?
Wer hat das gesagt ?
FRED
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> Aber schonmal vielen, vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Leduart schrieb:
a) die $ [mm] a_k [/mm] $ bilden eine Nullfolge, aber die summe divergiert, dann hat die nullfolge die eigenschaft $ [mm] a_k>1/k^r [/mm] $ mit r>1 also $ [mm] a_k\ge [/mm] $ 1/(c*k+b) c, b fest beliebig.
Und ich habe daraus gelesen, dass [mm] a_k>1/k^r [/mm] mit r>1 heißt, dass [mm] a_k [/mm] > 1/k
Wieso eigentlich mit r > 1?
Die Hälfte hätte ich dann ja (hoffentlich) schonmal verstanden.
Wieso hast [mm] a_k [/mm] dann die Form 1/(c*k+b)?
Das kann ich einfach sagen, weil c*k+b irgendwann [mm] k^r [/mm] wird?
Daraus wird dann [mm] \bruch{\bruch{1}{c*k+b}}{1+ \bruch{1}{c*k+b}}
[/mm]
Wieso divergiert das jetzt genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit Doppelbrüchen sollte man nie rumrechnen, wenn du ihn auflöst siehst du warum
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:54 Mi 01.12.2010 | | Autor: | lempickitty |
Ich hab diese Aufgabe auch diese Woche gehabt für Analysis I und hab mir mal eure ganzen Einträge durchgelesen, nur irgendwie weiß ich immernoch nicht wie man an diese aufgabe rangehen soll.. hab das gefühl jeder meint es funktioniert anders. tut mir leid wenn ich mich irre.. wäre nett wenn jemand jetzt nochmal endgültig sagen könnte wie man da rangeht bzw. was man sich dafür am besten anschaut...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sag lieber du, was du entnommen hast, oder selbst überlegt. Hier findet ne Diskussion mit möglichen Tips statt keine endgültigen Lösungen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Da es sich ja auch um meine Frage handelt kann ich sagen was ich Dank Loddar,Leduart und Fred geschafft habe.
für die a)
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k}
[/mm]
Falls [mm] a_k [/mm] keine Nullfolge bildet, so bildet [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] auch keine, denn:
[mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] => [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{b_k}{1-b_k}.
[/mm]
Wenn [mm] a_k [/mm] also keine Nullfolge, dann auch [mm] b_k [/mm] nicht.
So, der andere Fall ist, dass [mm] a_k [/mm] Nullfolge sein kann.
Dann kann ich sagen, dass die Reihe über [mm] a_k [/mm] selbst wiederum divergent ist.
Also muss [mm] a_k [/mm] > [mm] 1/k^r [/mm] mit r > 1 sein.
Weil eben [mm] 1/k^r [/mm] für r [mm] \le [/mm] 1 divergiert und > konvergiert. (oder?)
und [mm] k^r [/mm] kann ich darstellen, als c*k
Und [mm] 1/k^r [/mm] als 1/(c*k) (weiß leider nicht wieso noch +b, so kann ich die Zahl doch auch darstellen, oder nicht?)
Dann ist
[mm] \bruch{\bruch{1}{cn}}{1+\bruch{1}{cn}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+cn} [/mm] auch divergent.
Damit ist die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] stets divergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
nein [mm] n^r [/mm] kann man nicht durch cn ersetzen. aber Nullfolgen,die grade divergieren dürfen kein r>1 haben also sind sie mindestens 1/(cn+b)
(Die Reihe 1/cn) c>0 beliebig, divergiert wie die mit 1/n weil man 1/c vor die Summe ziehen kann, gegen das b kann man einfach statt bei n=1 bei n=[1+b] mit der Summe anfangen.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:05 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Also ist der Anfang richtig und der Schluss sähe dann so aus?:
[mm] \bruch{\bruch{1}{cn+b}}{1+\bruch{1}{cn+b}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1+cn+b}
[/mm]
Da kann ich dann sagen, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{1+cn+b} [/mm] ist divergent, weil [mm] \summe_{i=b+1}^{n}\bruch{1}{cn}divergent [/mm] ist, aber das ist doch was anderes oder?
Mir ist anscheinend schwer zu helfen..
Trotzdem danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Fr 03.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die Reihe kleiner ist hilft nichts, sie muss größer als eine divergierende sein damit sie divergiert.
Die Reihe ist kleiner als die, wo im Zähler [mm] a_k+1 [/mm] steht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:05 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Meinst du etwa folgendes:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{a_k}{1+a_k} \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{1+a_k} [/mm]
Ich denke ich habe das wieder falsch verstanden, denn wenn [mm] \summe_{i=1}^{n} a_k [/mm] divergiert, kann [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{1+a_k} [/mm] konvergent oder divergent sein, oder nicht?
Irgendwie kann ich das alles nicht =/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo hilbert!
> Meinst du etwa folgendes: [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a_k}{1+a_k} \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{1+a_k}[/mm]
Das kann nicht allgemeingültig sein, da nicht bekannt ist, ob für alle [mm]k_[/mm] gilt: [mm]a_k \ \le \ 1[/mm] . Es ist auch nicht bekannt, ob jemals [mm]a_k \ \le \ 1[/mm] wird.
Gruß
Loddar
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