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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
Hallöchen,
die Aufgabe lautet: Bestimmten sie den Grenzwert der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n(n+3)}
[/mm]
Wir haben ein ähnliches Beispiel in der Übung gerechnet.
Nach diesem Beispiel bin ich voran gegangen und habe erstmal 1/3 ausgeklammert und dann den Zähler mit +n-n erweitert (wie im Beispiel aus der Übung) dann steht am Ende da
[mm] \bruch{1}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n+6)}
[/mm]
Ich hoffe soweit stimmt es.
Dann habe ich versucht mit der Stumme Sn eine Teleskopreihe zu erkennen, aber das scheint nicht zu funktionieren.
Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll, ob es einen Trick gibt?
Danke für Eure Hilfe!
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Hallo bree_,
> Hallöchen,
> die Aufgabe lautet: Bestimmten sie den Grenzwert der
> Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n(n+3)}[/mm]
>
> Wir haben ein ähnliches Beispiel in der Übung gerechnet.
> Nach diesem Beispiel bin ich voran gegangen und habe
> erstmal 1/3 ausgeklammert und dann den Zähler mit +n-n
> erweitert (wie im Beispiel aus der Übung) dann steht am
> Ende da
>
> [mm]\bruch{1}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2n+6)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich hoffe soweit stimmt es.
Ja, das sieht gut aus, poste aber das nächste Mal bitte deine Rechnung für die PBZ, dann muss man nicht doppelt rechenen ...
>
> Dann habe ich versucht mit der Stumme Sn eine Teleskopreihe
> zu erkennen, aber das scheint nicht zu funktionieren.
>
> Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll, ob es
> einen Trick gibt?
Entweder schreibst du es mit Pünktchen hin und schaust, was sich weghebt oder du machst eine Indexverschiebung:
Es gilt ja [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^{k}a_n}_{=:S_k}[/mm], also der Reihenwert ist der GW der Partialsummenfolge.
Schreiben wir eine solche mal hin:
[mm]S_k=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+6}\right)=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{2n} \ - \ \frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{2n+6}=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{2n} \ - \ \frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=4}^{k+3}\frac{1}{2(n-3)+6}[/mm]
Da ist der Laufindex um 3 erhöht und daher in der Summe um 3 erniedrigt, um das anzupassen.
[mm]=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{2n} \ - \ \frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=4}^{k+3}\frac{1}{2n}[/mm]
Und das kannst du doch nun leicht verrechnen. Beide Summen sind endlich, fasse sie also zusammen zu einer, dann heben sich die meisten Summanden weg.
Von dem kärglichen Rest, der bleibt, bilde den GW für [mm]k\to\infty[/mm]
>
> Danke für Eure Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
Wow, ich bin beeindruckt!! Vielen Dank!
Das mit der Indexverschiebung hab ich um ehrlich zu sein, noch nie gesehen. Aber es leuchtet ein.
Ich werde mal so vorgehen wie du es erklärt hast, falls ich was Sinnvolles rausbekomme, werde ich hier noch eine Antwort posten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
OK, scheinbar seh ich es doch nicht ;)
Ich habe nun alles eingesetzt und es steht da:
Sn [mm] \bruch{1}{3} \summe_{n=1}^{N} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ...
Das ist doch dann zusammengefasst: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{N+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{N+2}] [/mm] = 0 ??!!
Macht irgendwie keinen Sinn finde ich.
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Hallo bree_,
ich finde auch, dass das keinen Sinn macht. 
> OK, scheinbar seh ich es doch nicht ;)
>
> Ich habe nun alles eingesetzt und es steht da:
Hmm. Warum verwendest Du nicht den ausgezeichneten Tipp von schachuzipus?
> Sn [mm]\bruch{1}{3} \summe_{n=1}^{N}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] [
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{12}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ...
>
> Das ist doch dann zusammengefasst: [mm]\bruch{1}{3}[/mm] [
> [mm]\bruch{1}{N+2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{N+2}][/mm] = 0 ??!!
Verstehe ich nicht. Ich bekomme da [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{2N+2}-\bruch{1}{2N+4}-\bruch{1}{2N+6} [/mm] heraus.
> Macht irgendwie keinen Sinn finde ich.
Rechne nochmal nach, und wie gesagt, hast Du es leichter, wenn Du die zwei Summen von schachuzipus verwendest.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
> Hallo bree_,
>
> ich finde auch, dass das keinen Sinn macht.
>
>
> > OK, scheinbar seh ich es doch nicht ;)
> >
> > Ich habe nun alles eingesetzt und es steht da:
>
> Hmm. Warum verwendest Du nicht den ausgezeichneten Tipp von
> schachuzipus?
>
> > Sn [mm]\bruch{1}{3} \summe_{n=1}^{N}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] [
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
> > + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{12}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ...
> >
> > Das ist doch dann zusammengefasst: [mm]\bruch{1}{3}[/mm] [
> > [mm]\bruch{1}{N+2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{N+2}][/mm] = 0 ??!!
>
> Verstehe ich nicht. Ich bekomme da
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{2N+2}-\bruch{1}{2N+4}-\bruch{1}{2N+6}[/mm]
> heraus.
Wie komms du darauf? Ich muss doch bei der zweiten Summe bei n=4 anfangen einzusetzen?! Versteh ich irgendwie nicht.. Und warum hörst du bei 1/6 bei der ersten Summe auf?
>
> > Macht irgendwie keinen Sinn finde ich.
>
> Rechne nochmal nach, und wie gesagt, hast Du es leichter,
> wenn Du die zwei Summen von schachuzipus verwendest.
>
> Grüße
> reverend
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Hallo nochmal,
> > Hallo bree_,
> >
> > ich finde auch, dass das keinen Sinn macht.
> >
> >
> > > OK, scheinbar seh ich es doch nicht ;)
> > >
> > > Ich habe nun alles eingesetzt und es steht da:
> >
> > Hmm. Warum verwendest Du nicht den ausgezeichneten Tipp von
> > schachuzipus?
> >
> > > Sn [mm]\bruch{1}{3} \summe_{n=1}^{N}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] [
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
> > > + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{1}{12}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ...
> > >
> > > Das ist doch dann zusammengefasst: [mm]\bruch{1}{3}[/mm] [
> > > [mm]\bruch{1}{N+2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{N+2}][/mm] = 0 ??!!
> >
> > Verstehe ich nicht. Ich bekomme da
> >
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{2N+2}-\bruch{1}{2N+4}-\bruch{1}{2N+6}[/mm]
> > heraus.
>
> Wie komms du darauf? Ich muss doch bei der zweiten Summe
> bei n=4 anfangen einzusetzen?! Versteh ich irgendwie
> nicht.. Und warum hörst du bei 1/6 bei der ersten Summe
> auf?
Nun, in beiden Summen wird derselbe Term summiert, [mm]\frac{1}{2n}[/mm]
In der ersten Summe wird von [mm]n=1[/mm] bis [mm]n=k[/mm] summiert, in der zweiten von [mm]n=4[/mm] bis [mm]n=k+3[/mm]
Die Summanden für [mm]n=1,2,3[/mm] treten also nur in der ersten Summe auf, in der zweiten nicht, das macht [mm]\frac{1}{2\cdot{}1}+\frac{1}{2\cdot{}2}+\frac{1}{2\cdot{}3}[/mm] aus der ersten Summe.
Die Summanden für [mm]n=4[/mm] bis [mm]n=k[/mm] treten in beiden Summen auf und heben sich weg.
Aus der zweiten Summe sind dann noch die letzten 3 Summanden übrig, für [mm]n=k+1, n=k+2[/mm] und [mm]n=k+3[/mm]
Das macht aus der 2.Summe [mm]\frac{1}{2(k+1)}+\frac{1}{2(k+2)}+\frac{1}{2(k+3)}[/mm]
Nun klar, was sich als Teleskopsumme ergibt?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
Vielen Dank schachuzipus für deine Mühe!
Jetzt ist es mir auch klar geworden
Es ist manchmal schwer solche Dinge zu verstehen, wenn man sie noch nicht lange kennt und noch nicht wirklich angewendet hat.
Deswegen sind manche Erklärungen einfach zu schnell, wenn einem die Zwischenschritte nicht klar sind.
Merci beaucoup !!
PS: Ich habe als Grenzwert nun 11/36 raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Sa 28.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
[mm] \bruch{11}{36} [/mm] ist richtig.
Und der Rest ist Übungssache, sobald Du das Prinzip der Teleskopsumme einmal verstanden hast.
Grüße
reverend
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