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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert einer Reihe
Grenzwert einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert einer Reihe: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:04 Mi 17.08.2005
Autor: MisterMarc

ich hab mal eine frage, bei der ich leider nicht weiter weiß.
ich möchte den grenzwert der reihe


[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{{n}^{2}} [/mm]

berechnen.

mein ansatz ist


[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{{n}^{2}} [/mm] = 1 +  x + [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{9} [/mm] + ...

= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{n} [/mm] - ( [mm] \summe_{r=1}^{ \infty} \summe_{k=1}^{ \ 2 \*r} x^{k+ r^{2}}) [/mm]


doch leider komm ich damit nicht weiter, wenn man das ganze dann weiterrechnet kommt man auf unnützes zeug.

gibt es nicht einen anderen weg, das zu berrechnen. wäre nett, wenn
mir jemand helfen könnte.

        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Substitution
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Mi 17.08.2005
Autor: matrinx

Hallo Mister,

vielleicht steh ich grad aufm Schlauch...aber mit [mm]z=x^{2}[/mm] wird  aus

[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} x^{{n}^{2}}[/mm]

[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} z^{n}[/mm]

das is die geometrische Reihe, das Konvergenzverhalten is bekannt. Rücksubstitution nich vergessen und das sollte es gewesen sein.

Grüsse
Martin

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Grenzwert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:38 Mi 17.08.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Martin,
Ganz so leicht ist's nicht da,
[mm](x^2)^n=x^{2n}=(x^n)^2 \not= x^{(n^2)}[/mm]

Die von Dir vorgeschlagene reihe wäre ja:
[mm] 1+x^2+x^4+x^6+.... [/mm]
viele Grüße
mathemaduen

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Grenzwert einer Reihe: stimmt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Mi 17.08.2005
Autor: matrinx

Das war also der Schlauch auf dem ich stand :)
Danke für die Beseitigung und Grüsse
Martin

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Grenzwert einer Reihe: Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Mi 17.08.2005
Autor: MisterMarc

ja stimmt, so geht es leider nicht,

ähm, vielleicht andere ideen, das wäre echt toll

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Grenzwert einer Reihe: Lückenreihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mi 17.08.2005
Autor: Leopold_Gast

Ohne letzte Gewißheit würde ich aus meiner Erfahrung heraus dennoch die Behauptung wagen, daß es für diese Reihe keinen geschlossenen Ausdruck gibt. Hier handelt es sich um eine sogenannte Lückenreihe.

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Grenzwert einer Reihe: numerisch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Do 18.08.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo MisterMarc,
Grundsätzlich stimme ich hier Leopold(Gast) zu. Deswegen schlage ich mal ausrechnen vor.
1. Konvergenzüberlegung (Für welche x braucht man gar nicht erst losrechnen, weil es kein Ergebnis gibt)
für x [mm] \in [/mm] (-1,1) konvergiert die Reihe
2. losrechnen
Bsp.
[mm] s_i=\summe_{n=0}^{i}x^{n^2} [/mm]
x=0,1
[mm] s_0=1 [/mm]
[mm] s_1=1,1 [/mm]
[mm] s_2=1,1001 [/mm]
[mm] s_3=1,100100001 [/mm]
Ich glaub' das reicht hier schon.
viele Grüße
mathemaduenn



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Grenzwert einer Reihe: Theta-Funktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Do 18.08.2005
Autor: Peter_Pein

Hallo MisterMarc,

es handelt sich bei der von Dir untersuchten Reihe um einen Spezialfall der []Jacobischen $\vartheta$-Funktion.

Ich habe dies auch nur durch Zufall gefunden und kann Dir leider nichts weiteres dazu sagen. Immerhin sollte es jetzt einfacher sein, in der Literatur etwas darüber zu finden ...

Alles Gute,
Peter


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