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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Fluorine |
Ich habe mir die Frage gestellt, wie ich die Länge einer Kurve auf einem bestimmten Abschnitt ausrechnen kann. Konkretes Beispiel wäre etwa, dass der Hügel einer Achterbahn durch die Funktion f(x) = -cos(x) auf dem Intervall [mm] (0;\pi) [/mm] modelliert wird. Nun möchte ich aber Wissen, wieviele Meter Schienen ich für diesen Hügel benötige. Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Ich lege innerhalb des Intervalls Steigungsdreiecke an, deren Hypothenuse ich mit dem Satz des Phytagoras berechne, und Summiere die einzelnen Hypothenusen. Das sieht dann so aus:
l = [mm] \summe_{x=a}^{b-1}\wurzel{(f(x+1)-f(x))^{2}+1}
[/mm]
a ist hierbei die untere und b die obere Grenze des Intervalls.
Nun will ich aber die x-Kathete der Steigungsdreicke immer kleiner werden lassen, um auch den genauen Wert der Länge l zu erhalten. Dazu baue Ich die Variable n ein und bilde den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{x=an}^{bn-1}\wurzel{(f(\bruch{x+1}{n})-f(\bruch{x}{n}))^{2}+\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
Nur stehe ich nun absolut auf dem Schlauch, wenn es darum geht, diesen Grenzwert auch zu bilden. Gibt es einen allgemeinen Grenzwert für jede Funktion f oder ist er immer anders? Zum ersten mal habe ich es mit einem Grenzwert zu tun, dessen konvergierende Variable teil eines Funktionswerts ist. Dies bereitet mir einfach kopfzerbrechen, ich würde halt gerne Wissen was von der Formel übrig bleibt, wenn [mm] n\to\infty [/mm] und was mit den f passiert.
Danke für jede Hilfe und jeden Denkanstoß.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fluorine, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist nicht so einfach... 
> Ich habe mir die Frage gestellt, wie ich die Länge einer
> Kurve auf einem bestimmten Abschnitt ausrechnen kann.
> Konkretes Beispiel wäre etwa, dass der Hügel einer
> Achterbahn durch die Funktion f(x) = -cos(x) auf dem
> Intervall [mm](0;\pi)[/mm] modelliert wird. Nun möchte ich aber
> Wissen, wieviele Meter Schienen ich für diesen Hügel
> benötige. Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Ich lege
> innerhalb des Intervalls Steigungsdreiecke an, deren
> Hypothenuse
Nur ein "h": Hypotenuse.
> ich mit dem Satz des Phytagoras berechne, und
> Summiere die einzelnen Hypothenusen. Das sieht dann so
> aus:
>
> l = [mm]\summe_{x=a}^{b-1}\wurzel{(f(x+1)-f(x))^{2}+1}[/mm]
Ja, gut.
> a ist hierbei die untere und b die obere Grenze des
> Intervalls.
Das geht natürlich nur auf, wenn b-a ganzzahlig ist.
> Nun will ich aber die x-Kathete der Steigungsdreicke immer
> kleiner werden lassen, um auch den genauen Wert der Länge
> l zu erhalten. Dazu baue Ich die Variable n ein und bilde
> den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{x=an}^{bn-1}\wurzel{(f(\bruch{x+1}{n})-f(\bruch{x}{n}))^{2}+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
Auch richtig. Mit einer ähnlichen Einschränkung bei den Summationsgrenzen.
> Nur stehe ich nun absolut auf dem Schlauch, wenn es darum
> geht, diesen Grenzwert auch zu bilden. Gibt es einen
> allgemeinen Grenzwert für jede Funktion f oder ist er
> immer anders?
Er ist immer anders, es gibt keine allgemeine Lösung.
> Zum ersten mal habe ich es mit einem
> Grenzwert zu tun, dessen konvergierende Variable teil eines
> Funktionswerts ist. Dies bereitet mir einfach
> kopfzerbrechen, ich würde halt gerne Wissen was von der
> Formel übrig bleibt, wenn [mm]n\to\infty[/mm] und was mit den f
> passiert.
Tja, das ist für manche Funktionen lösbar, wenn man die Funktionsvorschrift einsetzt, z.B. für [mm] f(x)=x^2. [/mm] Für andere Funktionen ist das nahezu unmöglich.
Solche Rechnungen werden normalerweise per Integralrechnung durchgeführt, die bekommt Ihr aber erst in der 11. Klasse.
> Danke für jede Hilfe und jeden Denkanstoß.
Brauchst Du das für ein bestimmtes Problem, z.B. das mit der Achterbahn? Dann sag mal genauer, wie die Funktion aussieht und in welchem Bereich Du die Länge brauchst. Für Sinus oder Cosinus ist das z.B. ziemlich schwierig und das Ergebnis ist nicht mit elementaren Funktionen darstellbar.
Irgendwas muss man an der Uni ja auch noch machen. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Fluorine |
Ist kein bestimmtes Probelm, ich hab mir einfach nur mal aus Interesse dazu Gedanken gemacht, ich stell mir halt gerne selbst Probleme um diese zu lösen, Integralrechnung ist eine feine Sache, aber ich hab immer gerne ein tieferes eigenes Verständnis der Dinge. Und das erlange ich vorallem durch sowas :)
Danke auf jeden fall!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
dies ist nur eine Mitteilung, möchte aber unbedingt etwas dazu sagen.
Wenn das Alter und der mathematische Background stimmt, dann muss man dich sehr loben! Sich solche Probleme herzunehmen und zu versuchen zu lösen ist bemerkenswert. Das nicht all die Kenntnisse bei dir vorhanden sind, erkennt man an die Herangehensweise (keinerlei Kritik). Du versuchst mit dir vorhandenen Mitteln das Problem zu lösen. Das ist gut! Und gerade solch ein Thema ist mit wenig Kenntnissen schwer zu fassen.
Ich bin sehr erstaunt über das Konstrukt. Respekt für die Überlegungen.
Da kann ich nur hoffen, dass die Neugier erhalten bleibt und keineswegs abflacht.
Nun noch ein kleiner sachlicher Hinweis: Die Länge einer Kurve, oder hier im speziellen einer Funktion f(x), ist auch unter dem Namen der Bogenlänge bekannt.
Dein Verfahren ist so ähnlich, wie man das ganze auch richtig herleitet. Deine Idee ist also gar nicht so abwegig.
Du kannst ja einfach mal den Begriff der Bogenlänge googlen. Im Grund ist es einfach zu verstehen.
Es grüßt
Richie
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