Grenzwert einer e-Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Do 11.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ich hoffe,ich bin im richtigen Forum gelandet. ;)
Bestimmen Sie den Grenzwert (falls dieser existiert)
[mm] \limes_{x\rightarrow0} e^{\bruch{(2+x)^2-4}{x}} [/mm] |
Moin,
kann man das nicht nach de l'Hospital lösen?
Frage mich nur, was mache ich mit e ?!
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] = [mm] \bruch{2(2+x)}{1} [/mm] = 4
bzw.
[mm] e^4 [/mm]
Richtig?
Danek & Gruß
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> Ich hoffe,ich bin im richtigen Forum gelandet. ;)
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> Bestimmen Sie den Grenzwert (falls dieser existiert)
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{\bruch{(2+x)^2-4}{x}}[/mm]
> Moin,
>
> kann man das nicht nach de l'Hospital lösen?
De l'Hospital ist hier fast etwas zu schweres Geschütz,
denn man kommt doch mit elementaren Mitteln aus .....
> Frage mich nur, was mache ich mit e ?!
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] = [mm]\bruch{2(2+x)}{1}[/mm] = 4
>
> bzw.
>
> [mm]e^4[/mm]
>
>
> Richtig?
>
> Danke & Gruß
Hallo Wolfgang,
mir ist nicht ganz klar, was du dir genau überlegt hast.
Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion kann man
zuerst den Grenzwert des Exponenten bestimmen, also:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0}\ e^{\ \bruch{(2+x)^2-4}{x}}\ [/mm] =\ [mm] e^{\ \limes_{x\rightarrow0}{\ \bruch{(2+x)^2-4}{x}}}$
[/mm]
Der Bruch [mm] \bruch{(2+x)^2-4}{x} [/mm] vereinfacht sich (für [mm] x\not= [/mm] 0)
zu $\ x+4$ , und der Limes davon für $\ x$ gegen Null ist $\ 4$ .
Dann kommt man am Ende tatsächlich zum Ergebnis
[mm] e^4 [/mm] für den gesuchten Grenzwert.
LG Al-Chw.
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