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Forum "Integration" - Grenzwert eines Integrals
Grenzwert eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert eines Integrals: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Mo 06.06.2005
Autor: angela.h.b.

Hallo, Ihr alle,

im Verlauf einer Aufgabe möchte ich

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} {(x^{n}-f(x))^2 dx} [/mm] bestimmen.

Kann ich da einfach sagen  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^{n}=0 [/mm]  ==>  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} {(x^{n}-f(x))^2 dx}= \integral_{0}^{1} {(f(x))^2 dx} [/mm] ?

Warum ist das erlaubt, bzw. warum ist es nicht erlaubt?

Im voraus danke für Eure Hilfe
Angela

        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Mo 06.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n}=0[/mm]  ==>  

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} {(x^{n}-f(x))^2 dx}= \integral_{0}^{1} {(f(x))^2 dx}[/mm]  ?

Das ist deshalb etwas problematisch, weil [mm] $x^n\to [/mm] 0$ nur für [mm] $x\in [/mm] [0;1)$. Tatsächlich konvergiert die Folge [mm] $(x^n)$ [/mm] auch nicht gleichmäßig. Deshalb kannst du die Integration nicht einfach mit dem Limes vertauschen, zumindest, solange du mit dem Riemann-Integral arbeitest.
Ist $f(x)$ beschränkt? Dann könnte man nämlich so argumentieren:
[mm] $\int_0^1(x^n-f(x))^2dx=\int_0^1x^{2n}dx-2\int_0^1x^nf(x)dx+\int_0^1f(x)^2dx$. [/mm]
Dann ist [mm] $\int_0^1x^{2n}dx=\bruch{1}{2n+1}\to [/mm] 0$ und
[mm] $\left|\int_0^1x^nf(x)dx\right|\le \int_0^1x^n|f(x)|dx\le \int_0^1x^n\|f\|_\infty dx=\bruch{\|f\|_\infty}{n+1}\to [/mm] 0$.

Hilft dir das weiter? Sonst poste doch mal, wie $f$ genau aussieht!

Gruß, banachella


Bezug
                
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Mo 06.06.2005
Autor: angela.h.b.


> Hilft dir das weiter?

Danke, banachella,

ich werde jetzt über eine Begründung für die Beschränktheit von f nachdenken, und ich bin ziemlich optimistisch, daß ich jetzt allein weiterkomme.

Sonst poste doch mal, wie [mm]f[/mm] genau

> aussieht!

Das geht nicht. f ist nur eine angenommene Funktion, von der ich zeigen will, daß es sie gar nicht gibt...

Gruß v. Angela


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Mo 06.06.2005
Autor: banachella

Hallo Angela!

> Sonst poste doch mal, wie [mm]f[/mm] genau
> > aussieht!
>  
> Das geht nicht. f ist nur eine angenommene Funktion, von
> der ich zeigen will, daß es sie gar nicht gibt...

So was kommt vor... Eins vielleicht noch: Es muss nicht unbedingt $f$ beschränkt sein. Es reicht auch vollkommen, wenn $x^nf$ beschränkt ist für ein [mm] $n\in\IN_0$... [/mm]

Gruß, banachella


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 20:20 Mo 06.06.2005
Autor: angela.h.b.



>  So was kommt vor... Eins vielleicht noch: Es muss nicht
> unbedingt [mm]f[/mm] beschränkt sein. Es reicht auch vollkommen,
> wenn [mm]x^nf[/mm] beschränkt ist für ein [mm]n\in\IN_0[/mm]...

Warum denn das?
Bitte banachella, kannst Du mir das Stichwort sagen, unter welchem ich nachschauen müßte?  (Ich habe nach einer gaaaaaaaanz langen Pause recht viel nicht mehr parat. Braucht man nicht beim Kochen...)
Aber für mein aktuelles Problem ist es nicht wichtig, glaube ich. Es sind stetig diffbare Funktionen auf kompakten Intervallen!

Danke und Gruß v. Angela



>  
> Gruß, banachella
>  


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Mi 08.06.2005
Autor: matux

Hallo Angela!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

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