Grenzwert eines Produktes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm](a_n)_n_\in_\IN\subseteq\IQ[/mm] eine beschränkte Folge.
Sei [mm](b_n)_n_\in_\IN\subseteq\IQ[/mm] eine Folge mit [mm]\lim_{n \to \infty}b_n=0[/mm].
Zeige: Es gilt [mm]\lim_{n \to \infty}(a_nb_n)=0[/mm]. |
Der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte, falls alle einzelnen Grenzwerte existieren. Also, ich müsste im Endeffekt Folgendes haben:
[mm]\lim_{n \to \infty}(a_nb_n)=\lim_{n \to \infty}(a_n)*\lim_{n \to \infty}(b_n)=\lim_{n \to \infty}(a_n)*0=0[/mm]
D.h. ich muss lediglich zeigen, dass die Folge [mm](a_n)_n_\in_\IN\subseteq\IQ[/mm] konvergent ist. Dann erfüllt sich diese Gleichung sofort.
Meine Frage nun: wie kann ich es zeigen, dass die Folge [mm](a_n)_n_\in_\IN\subseteq\IQ[/mm] konvergent ist? Aus ihrer Beschränkheit kann ich das natürlich nicht folgern.
Mir fällt nur auf, dass die beiden Folgen Teilmengen von [mm]\IQ[/mm] sind, aber was hilft mir diese Überlegung? Ich bin ein wenig ratlos. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo SergiusPro,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Konvergenz von [mm] $a_n$ [/mm] benötigen wir hier nicht.
Und aus der Beschränktheit wissen wir: [mm] $\left| \ a_n \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ A \ \ \ [mm] \forall n\in\IN$
[/mm]
Damit ergibt sich ja:
[mm] $\left| \ a_n*b_n-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n*b_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n \ \right| [/mm] * [mm] \left| \ b_n \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] A*\left| \ b_n-0 \ \right| [/mm] \ < \ [mm] A*\varepsilon [/mm] \ = \ [mm] \varepsilon^{\star}$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon^{\star} [/mm] \ := \ [mm] A*\varepsilon$
[/mm]
Gruß
Loddar
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