Grenzwert für Wahrscheinlkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 09.09.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Aus der Menge {1,2,...,n} wird zufällig eine Zahl [mm] \epsilon_n [/mm] genommen. Finde den Grenzwert (n [mm] \to \infty) [/mm] der Wahrscheinlichkeit, dass [mm] \epsilon_n^2-1 [/mm] durch 10 teilbar ist. |
Hallo, ich habe leider gar keine Idee wie ich obige Aufgabe angehen soll...
Die Zahlen, die das erfüllen, sind ja 1,11,21,31,....
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Hiho,
[mm] $x^2 [/mm] - 1 = 0 [mm] \text{ mod }10 \quad\gdw\quad x^2 [/mm] = 1 [mm] \text{ mod } [/mm] 10 [mm] \quad\gdw\quad [/mm] x = 1 [mm] \text{ mod } [/mm] 10 [mm] \vee [/mm] x=9 [mm] \text{ mod } [/mm] 10$
Jetzt du.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 09.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Stimmt die Zahlen, die x=9 mod 10 erfüllen hatte ich vergessen, also
1,9, 11,19,21,29, 31. Aber wie ermittle ich den GW?
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Hiho,
> 1,9, 11,19,21,29, 31. Aber wie ermittle ich den GW?
Durch einfaches abzählen.
Ich geb dir jetzt mal eine Zahl n.
Wie viele Zahlen gibt es jetzt, die deine gewünschte Eigenschaft haben in [mm] $\{1,\ldots,n\}$?
[/mm]
n=10
n=30
n=100
Verallgemeinere das mal für beliebiges n.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 09.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Es sind für n=10 2, n=30 6 und für n=100 20 Zahlen. Da könnte man ja meinen es wäre n/5, aber das passt für n=2 ja z.B. schon nicht mehr... Ich wüsste jetzt nicht wie ich das verallgemeinern soll... Es sind ja auch z.B für n=12,13,14,..,18 gleich viele Zahlen.
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Hiho,
> Es sind für n=10 2, n=30 6 und für n=100 20 Zahlen. Da könnte man ja meinen es wäre n/5, aber das passt für n=2 ja z.B. schon nicht mehr...
Korrekt.
> Ich wüsste jetzt nicht wie ich das verallgemeinern soll... Es sind ja auch z.B für n=12,13,14,..,18 gleich viele Zahlen.
Ja. Insgesamt sind es drei Fälle.
1.) Anzahl Zahlen für $n=10k, [mm] k\in\IN$
[/mm]
2.) Anzahl Zahlen für $n=10k + 1$ bis $n=10k + 8, [mm] k\in\IN$
[/mm]
2.) Anzahl Zahlen für $n=10k + 9, [mm] k\in\IN$
[/mm]
Und wenn alle drei Teilfolgen gegen gleichen Grenzwert konvergieren, konvergiert die gesamte Folge dagegen
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mi 10.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Also der GW ist dann denke ich für alle drei Folgen 5.
Denn:
10k:2k=5
(10k+9):(2k) [mm] \to [/mm] 5
(10k+1,....,10k+8):(2k+1) [mm] \to [/mm] 5
Was genau hat das eigentlich mit Wkt-rechnung zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also der GW ist dann denke ich für alle drei Folgen 5.
>
> Denn:
> 10k:2k=5
> (10k+9):(2k) [mm]\to[/mm] 5
> (10k+1,....,10k+8):(2k+1) [mm]\to[/mm] 5
> Was genau hat das eigentlich mit Wkt-rechnung zu tun?
Du sollst ja folgendes machen:
> Aus der Menge {1,2,...,n} wird zufällig eine Zahl $ [mm] \epsilon_n [/mm] $
> genommen. Finde den Grenzwert (n $ [mm] \to \infty) [/mm] $ der
> Wahrscheinlichkeit, dass $ [mm] \epsilon_n^2-1 [/mm] $ durch 10 teilbar ist.
Erinnerung:
(Anzahl der günstiogen Fälle)/(Anzahl aller möglichen Fälle)
darf man rechnen, sofern man unterstellt, dass alle Zahlen aus [mm] $\{1,...,n\}$
[/mm]
gleich wahrscheinlich sind (d.h. mit Wahrscheinlichkeit [mm] $1/n\,$ [/mm] gezogen werden).
Nur mal so grob:
Wenn genau 6 von 30 Zahlen so sind, dass diese gerade bei Divison durch
10 den Rest 1 lassen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine solche (günstige)
zu ziehen, nicht 30/6=5, sondern 6/30=1/5.
Und die Aufgabe kann man auch erstmal weniger formal gedanklich angehen,
auch, wenn das natürlich kein Beweis ist, sondern eher eine Richtungsweisung:
Von [mm] $\{1,...,100\}$ [/mm] waren 20 Zahlen *günstig*. Bei [mm] $\{1,...,110\}$ [/mm] wären es [mm] $22\,.$
[/mm]
Bei allen Mengen [mm] $\{1,...,101\}$ [/mm] bis [mm] $\{1,..,108\}$ [/mm] wären es immer 21. Naja, dass hier
nicht genau $1/5$ rauskommt bei "(günstige Fälle)/(mögliche Fälle)", ist doch
egal - und diese "Schwankung" von 1,2 Zahlen (z.B. hat man bei [mm] $\{1,...,109\}$ [/mm] ja
zwei günstige Zahlen bzgl. der Aufgabenstellung) bei den günstigen Fällen
hat immer weniger Einfluss, je größer das [mm] $n\,$ [/mm] wird.
Sowas wären *gehbare Vorüberlegungen*, und dass da gedanklich alles
korrekt ist: Davon soll man sich halt überzeugen, indem man "mathematisch
strenger" vorgeht und den Grenzübergang $n [mm] \to \infty$ [/mm] betrachtet!
Gruß,
Marcel
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