Grenzwert für x gegen x0 < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Fr 20.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert, falls dieser existiert.
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x-1} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] |
Moin,
Hänge bei der Aufgabe fest. Der Anfang ging noch ganz gut, nur der Schluss ist wieder knifflig. So weit bin ich gekommen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x-1} [/mm] (n [mm] \in \IN), [/mm] da x=1 eine Nullstelle des Zählers ist, habe ich hier die PolyDiv. durchgeführt, um den Nenner wegzukürzen, nur dabei ist was ganz komisches entstanden.
[mm] (x^n-1)=(x-1)*(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^{n-(n-1)}+x^{n-n}), [/mm] da sich das (x-1) mit dem Nenner wegkürzt bleibt da stehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^{n-(n-1)}+x^{n-n}) [/mm] und ab hier stehe ich aufm Schlauch. Der Grenzwert soll n sein, aber mir fällt nichts ein, wie ich darauf kommen könnte. Habt ihr vielleicht eine Idee?
Gruß
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Hallo,
vorneweg: bitte erstelle grundsätzlich für neue Aufgaben auch einen neuen Thread, das wird sonst total unübersichtlich, und dies kann ja auch nicht in deinem Interesse sein.
> Berechnen Sie den Grenzwert, falls dieser existiert.
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x-1}[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
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> Moin,
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> Hänge bei der Aufgabe fest. Der Anfang ging noch ganz gut,
> nur der Schluss ist wieder knifflig. So weit bin ich
> gekommen:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x-1}[/mm] (n [mm]\in \IN),[/mm] da
> x=1 eine Nullstelle des Zählers ist, habe ich hier die
> PolyDiv. durchgeführt, um den Nenner wegzukürzen, nur
> dabei ist was ganz komisches entstanden.
>
> [mm](x^n-1)=(x-1)*(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^{n-(n-1)}+x^{n-n}),[/mm]
> da sich das (x-1) mit dem Nenner wegkürzt bleibt da
> stehen:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^{n-(n-1)}+x^{n-n})[/mm]
> und ab hier stehe ich aufm Schlauch. Der Grenzwert soll n
> sein, aber mir fällt nichts ein, wie ich darauf kommen
> könnte. Habt ihr vielleicht eine Idee?
Ja: du benötigst jetzt nichts weiter als die denkabr einfachte mathematische Tätigkeit: Zählen!
Insbesondere ist für natürliche Zahlen n [mm] 1^n=1 [/mm] und somit auch [mm] 1^0=1.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Fr 20.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
Sauber, so kommt man auch auf das n, danke.
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