Grenzwert l´Hopital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: (0, [mm] \infty) \rightarrow \IR [/mm] gegeben durch $f(t) = (sin [mm] (t))^{\bruch{1}{ln(t)}}$
[/mm]
a)
Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} [/mm] f(t)$
mit der Regel von de l`Hopital
b)
Berechnen Sie die erste Ableitung von $f$ und den Grenzwert
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t)$ [/mm] |
Ich bins wieder...
Eines vorweg, [mm] \limes_{t\rightarrow 0+} [/mm] bedeutet ja von [mm] +\infty \rightarrow [/mm] 0 oder?
Aufgabe a:
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} [/mm] (sin [mm] (t))^{\bruch{1}{ln(t)}}$
[/mm]
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} [/mm] f(t) = [mm] 0^{\infty}$
[/mm]
$f(t) = [mm] e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}$
[/mm]
$f(t) = [mm] \bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}$
[/mm]
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} [/mm] f(t) = [mm] \bruch{0}{0}$
[/mm]
[mm] $f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{cos(t) t}{sin(t)}$
[/mm]
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}$
[/mm]
[mm] $f^{(2)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{-sin(t) t + cos(t)}{cos(t)}$
[/mm]
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(2)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1$
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} [/mm] f(t) = [mm] e^{1}$
[/mm]
Stimmt das so?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 06.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, nur beim formulieren solltest du
[mm] f(t)=e^{g(t)} [/mm] g(t) nicht wieder f(t) nennen.
also statt
$ f(t) = [mm] e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}} [/mm] $ [mm] f(t)=e^{g(t)}
[/mm]
$ g(t) = [mm] \bruch{ln(sin(t))}{ln(t)} [/mm] $
Gruss leduart
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Kann mit bitte jemand sagen, was mit Aufgabe b gemeint ist?
Sei f: (0, $ [mm] \infty) \rightarrow \IR [/mm] $ gegeben durch $ f(t) = (sin [mm] (t))^{\bruch{1}{ln(t)}} [/mm] $
b)
Berechnen Sie die erste Ableitung von f und den Grenzwert
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) [/mm] $
Das hab ich doch schon bei Aufgabe a gemacht oder?
Und der Grenzwert ist [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder irre ich mich?
Lg
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> Kann mit bitte jemand sagen, was mit Aufgabe b gemeint
> ist?
>
> Sei f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(t) = (sin (t))^{\bruch{1}{ln(t)}}[/mm]
>
> b)
> Berechnen Sie die erste Ableitung von f und den Grenzwert
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t)[/mm]
>
> Das hab ich doch schon bei Aufgabe a gemacht oder?
> Und der Grenzwert ist [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder irre ich mich?
>
> Lg
das was du im ersten post geschrieben hast war aber totaler murks.
[mm] f(t)=sin(t)^{\frac{1}{ln(t)}}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0+}f(t) [/mm] ergibt ein [mm] 0^0 [/mm] deswegen umschreiben
[mm] f(t)=e^{\frac{ln(sin(t))}{ln(t)}}=e^{g(t)}
[/mm]
wegen der stetigkeit der e-funktion gilt nun
[mm] \limes_{t\rightarrow 0+}e^{g(t)}=e^{\limes_{t\rightarrow 0+}g(t)}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow 0+}g(t)=\limes_{t\rightarrow 0+}\frac{ln(sin(t))}{ln(t)} [/mm] jedoch ist vom falle [mm] "\frac{-\infty}{-\infty}"
[/mm]
also nun l'hopital:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0+}\frac{ln(sin(t))}{ln(t)}\underbrace{=}_{\frac{\infty}{\infty}}\limes_{t\rightarrow 0+}\frac{\frac{1}{sin(t)}*cos(t)}{\frac{1}{t}}=\limes_{t\rightarrow 0+}\frac{cos(t)*t}{sin(t)}\underbrace{=}_{\frac{0}{0}}\limes_{t\rightarrow 0+}\frac{-sin(t)*t+cos(t)}{cos(t)}=1=\limes_{t\rightarrow 0+}g(t)
[/mm]
somit für [mm] \limes_{t\rightarrow 0+}f(t)=e^1
[/mm]
für die 2. aufgabe soll f(t) zuerst mal differenziert werden und dann der grenzwert wie oben gesucht werden
gruß tee
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Vielen Dank für deine Mühe. Stimmt, ln(0) geht gegen [mm] -\infty [/mm] .
Ich glaub ich hab ein kleines Problem mit dem Ableiten.
$f(t) = [mm] sin(t)^{\bruch{1}{ln(t)}}$
[/mm]
[mm] $f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{ln(t)^{2} t} sin(t)^{(\bruch{1}{ln(t)}-1)} [/mm] cos(t)$
[mm] $f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] -ln(t)^{-2} \cdot t^{-1} \cdot sin(t)^{(\bruch{1-ln(t)}{ln(t)})}\cdot [/mm] cos(t)$
Stimmt das soweit?
Wie gehts jetzt weiter?
Kann ich das so machen wie bei Aufgabe a?
[mm] e^{g(t)}
[/mm]
$g(t) = [mm] \bruch{(1-ln(t))\cdot (-ln(t)^{-2} \cdot t^{-1} \cdot sin(t) \cdot cos(t))}{ln(t)}$
[/mm]
Stimmt das, oder ist es wieder nur murks? ^^
Lg
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> Vielen Dank für deine Mühe. Stimmt, ln(0) geht gegen
> [mm]-\infty[/mm] .
>
> Ich glaub ich hab ein kleines Problem mit dem Ableiten.
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> [mm]f(t) = sin(t)^{\bruch{1}{ln(t)}}[/mm]
>
> [mm]f^{(1)}(t) = -\bruch{1}{ln(t)^{2} t} sin(t)^{(\bruch{1}{ln(t)}-1)} cos(t)[/mm]
>
> [mm]f^{(1)}(t) = -ln(t)^{-2} \cdot t^{-1} \cdot sin(t)^{(\bruch{1-ln(t)}{ln(t)})}\cdot cos(t)[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
das sieht ziemlich schlimm aus..
schreib die funktion vorher mit hilfe der e-funktion wieder um und leite dann nach ketten und quotientenregel ab!
>
> Wie gehts jetzt weiter?
> Kann ich das so machen wie bei Aufgabe a?
>
> [mm]e^{g(t)}[/mm]
>
> [mm]g(t) = \bruch{(1-ln(t))\cdot (-ln(t)^{-2} \cdot t^{-1} \cdot sin(t) \cdot cos(t))}{ln(t)}[/mm]
>
> Stimmt das, oder ist es wieder nur murks? ^^
>
> Lg
gruß tee
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Ok habs jetzt abgeleitet.
[mm] $f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}}$
[/mm]
Sollte stimmen oder?
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{-\infty}{-\infty}
[/mm]
[mm] \bruch{-\infty}{-\infty} [/mm] ist auch der Grenzwert oder?
Egal wie oft ich ableite, es kommt immer dieser Grenzwert heraus oder?
Oder hab ich mich verrechnet?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Fr 07.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin dreamweaver,
ich meine, die Aufgabenstellung ist unsinnig. Versuche mal [mm] $f(3\pi/2)_$ [/mm] zu berechnen...
vg Luis
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> Moin dreamweaver,
>
> ich meine, die Aufgabenstellung ist unsinnig. Versuche mal
> [mm]f(3\pi/2)_[/mm] zu berechnen...
>
> vg Luis
Ja. Der Definitionsbereich sollte z.B. auf das offene Intervall
$\ [mm] (0\,...\,1)$ [/mm] eingeschränkt werden. Für die Betrachtungen
in der rechtsseitigen Umgebung von Null genügt dies.
LG Al
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Naja die Aufgabe lautet aber
Sei f: (0, $ [mm] \infty) \rightarrow \IR [/mm] $ gegeben durch $ f(t) = (sin [mm] (t))^{\bruch{1}{ln(t)}} [/mm] $
b)
Berechnen Sie die erste Ableitung von f und den Grenzwert
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) [/mm] $
Ich habs einmal abgeleitet:
$ [mm] f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}} [/mm] $
stimmt so oder?
Und der Grenzwert:
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) = \bruch{-\infty}{-\infty} [/mm] $
Ist doch richtig oder?
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Hallo dreamweaver,
> Naja die Aufgabe lautet aber
> Sei f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(t) = (sin (t))^{\bruch{1}{ln(t)}}[/mm]
Dann ist das ein Fehler seitens des Aufgabenstellers!
>
> b)
> Berechnen Sie die erste Ableitung von f und den Grenzwert
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t)[/mm]
>
> Ich habs einmal abgeleitet:
> [mm]f^{(1)}(t) = \bruch{e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}}[/mm]
>
> stimmt so oder?
Fast, der Faktor [mm]e^{(...)}[/mm], also [mm]\left(\sin(t)\right)^{\frac{1}{\ln(t)}}[/mm] ist doch die äußere Ableitung und steht als Faktor vor dem Bruch, der die innere Ableitung darstellt, also
[mm]f'(t)=e^{\frac{\ln(\sin(t))}{\ln(t)}} \ \cdot{} \ \frac{\cot(t)\cdot{}\ln(t)-\frac{\ln(\sin(t))}{t}}{\ln^2(t)}[/mm]
>
> Und der Grenzwert:
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) = \bruch{-\infty}{-\infty}[/mm]
>
> Ist doch richtig oder?
Hmm, Begründung? Der Nenner strebt doch für [mm]t\to 0^+[/mm] gegen [mm](-\infty)^2=+\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Warum ist hier die Aufgabe falsch?
Was bedeutet f: (0, $ [mm] \infty) \rightarrow \IR [/mm] $ eigentlich? Wie wirkt sich das auf die Rechnung aus?
Ja stimmt, dann müsste es heißen
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{-\infty}{+\infty} [/mm] $ oder?
Lg
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Hallo nochmal,
> Warum ist hier die Aufgabe falsch?
Wie ist denn eine Potenz mit reellem Exponenten definiert?
Doch nur für positive Basis, sowas wie [mm](-0,5)^{\pi}[/mm] ist nicht definiert.
Wie willst du das in die Exponentialschreibweise umschreiben?
[mm]=e^{\pi\cdot{}\ln(-0,5)}[/mm] ??
> Was bedeutet f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR[/mm] eigentlich?
Dass die Funtion von 0 (ausschließlich) bis [mm]\infty[/mm] definiert ist, was sie aber nicht ist ...
> Wie wirkt sich das auf die Rechnung aus?
Schränke den Def.bereich gem. Al Chwarizmis Bemerkung ein, dann hast du positive Sinuswerte und die Fkt. ist wunderbar definiert.
Da du dich eh nur für den GW für [mm]t\to 0^+[/mm] interessierst, reicht [mm](0,1)[/mm] als Defbereich.
>
> Ja stimmt, dann müsste es heißen
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) = \bruch{-\infty}{+\infty}[/mm]
> oder?
Begründe das mal!
Der Vorfaktor [mm]e^{(...)}[/mm] strebt nach a) gegen ??
Und der Zähler gegen [mm]-\infty-\frac{-\infty}{0}[/mm]
Wieso sollte das [mm]-\infty[/mm] sein?
So wie ich das sehe, strebt der Bruch gegen [mm]\frac{0}{\infty}[/mm] ...
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
> > Warum ist hier die Aufgabe falsch?
>
> Wie ist denn eine Potenz mit reellem Exponenten definiert?
>
> Doch nur für positive Basis, sowas wie [mm](-0,5)^{\pi}[/mm] ist
> nicht definiert.
>
> Wie willst du das in die Exponentialschreibweise
> umschreiben?
>
> [mm]=e^{\pi\cdot{}\ln(-0,5)}[/mm] ??
>
>
> > Was bedeutet f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR[/mm] eigentlich?
>
> Dass die Funtion von 0 (ausschließlich) bis [mm]\infty[/mm]
> definiert ist, was sie aber nicht ist ...
>
> > Wie wirkt sich das auf die Rechnung aus?
>
> Schränke den Def.bereich gem. Al Chwarizmis Bemerkung ein,
> dann hast du positive Sinuswerte und die Fkt. ist wunderbar
> definiert.
>
> Da du dich eh nur für den GW für [mm]t\to 0^+[/mm] interessierst,
> reicht [mm](0,1)[/mm] als Defbereich.
>
Stimmt danke, jetzt versteh ich es.
> >
> > Ja stimmt, dann müsste es heißen
> > [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) = \bruch{-\infty}{+\infty}[/mm]
> > oder?
>
> Begründe das mal!
Also der Vorfaktor [mm] e^{\bruch{-\infty}{-\infty}} [/mm] strebt ja gegen 0 oder? Da [mm] e^{-\infty} [/mm] = 0. Oder ist [mm] e^{\bruch{-\infty}{-\infty}} [/mm] gleichbedeutend mit [mm] e^{\infty} [/mm] = [mm] \infty?
[/mm]
[mm] \bruch{cos(0)}{sin(0)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0}
[/mm]
ln(0) = [mm] -\infty
[/mm]
Also sieht der Bruch so aus:
[mm] 0\cdot \bruch{\bruch{1}{0}\cdot -\infty - (-\infty) \cdot \bruch{1}{0}}{\infty}
[/mm]
Also strebt der ganze Bruch gegen [mm] \bruch{0}{\infty}.
[/mm]
Was kommt bei der Multiplikation [mm] \bruch{1}{0}\cdot -\infty [/mm] raus?
Lg
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
> >
> > > Warum ist hier die Aufgabe falsch?
> >
> > Wie ist denn eine Potenz mit reellem Exponenten definiert?
> >
> > Doch nur für positive Basis, sowas wie [mm](-0,5)^{\pi}[/mm] ist
> > nicht definiert.
> >
> > Wie willst du das in die Exponentialschreibweise
> > umschreiben?
> >
> > [mm]=e^{\pi\cdot{}\ln(-0,5)}[/mm] ??
> >
> >
> > > Was bedeutet f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR[/mm] eigentlich?
> >
> > Dass die Funtion von 0 (ausschließlich) bis [mm]\infty[/mm]
> > definiert ist, was sie aber nicht ist ...
> >
> > > Wie wirkt sich das auf die Rechnung aus?
> >
> > Schränke den Def.bereich gem. Al Chwarizmis Bemerkung ein,
> > dann hast du positive Sinuswerte und die Fkt. ist wunderbar
> > definiert.
> >
> > Da du dich eh nur für den GW für [mm]t\to 0^+[/mm] interessierst,
> > reicht [mm](0,1)[/mm] als Defbereich.
> >
> Stimmt danke, jetzt versteh ich es.
> > >
> > > Ja stimmt, dann müsste es heißen
> > > [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) = \bruch{-\infty}{+\infty}[/mm]
> > > oder?
> >
> > Begründe das mal!
> Also der Vorfaktor [mm]e^{\bruch{-\infty}{-\infty}}[/mm] strebt ja
> gegen 0 oder? Da [mm]e^{-\infty}[/mm] = 0. Oder ist
> [mm]e^{\bruch{-\infty}{-\infty}}[/mm] gleichbedeutend mit [mm]e^{\infty}[/mm]
> = [mm]\infty?[/mm]
Also echt, wenn du die Antworten nicht liest, dann macht's keinen Spaß
fencheltee hat dir oben den GW inkl. Begründung ausführlichst ausgerechnet ...
Mensch Meier ...
Was soll man da sagen??
>
> [mm]\bruch{cos(0)}{sin(0)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0}[/mm]
>
> ln(0) = [mm]-\infty[/mm]
>
> Also sieht der Bruch so aus:
>
> [mm]0\cdot \bruch{\bruch{1}{0}\cdot -\infty - (-\infty) \cdot \bruch{1}{0}}{\infty}[/mm]
>
> Also strebt der ganze Bruch gegen [mm]\bruch{0}{\infty}.[/mm]
> Was kommt bei der Multiplikation [mm]\bruch{1}{0}\cdot -\infty[/mm]
> raus?
>
>
> Lg
Ich klinke mich aus! So macht's keinen Spaß!
Gruß
schachuzipus
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Ich hab die Antwort natürlich gelesen, nur hab ich nicht gewusst, dass ich den ausgerechneten Grenzwert von Aufgabe a) auch hier verwenden kann, was eigentlich logisch ist... (ich weiß du hast es auch geschrieben)
Gut der Grenzwert des Vorfaktors ist [mm] e^{1}.
[/mm]
Also hab ich dann dastehen:
[mm] e^{1} \bruch{\bruch{0}{0}}{\infty} [/mm] und das ergibt [mm] \bruch{0}{\infty}
[/mm]
Stimmt das nun so? Muss ich hier mit l´Hopital weiterrechnen oder ist [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] das entgültige Ergebnis? Sorry für die Fragen...
schachuzipus danke für deine zahlreichen Antworten, finds schade das du dich ausklinkst.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Fr 07.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein GW ist entweder ne Zahl, oder er existiert nicht, dann schreibt man manchmal [mm] \infty
[/mm]
aber 1. wie kommst du von [mm] \bruch{\bruch{0}{0}}{\infty} [/mm] auf [mm] \bruch{0}{\infty}
[/mm]
einfach [mm] \bruch{0}{0}=0 [/mm] oder wie.
2. [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] ist keine zahl.
WENN der Z eines Bruches bel klein, der nenner beliebig groß wird ist der GW 0
wenn der Z des Bruches beschränkt ist und der Nenner bel. groß wird ist der GW 0 und so weiter. wenn Z gegen 0 und Nenner gegen 0 geht weiss man erstmal nix!
Gruss leduart
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> Hallo
> ein GW ist entweder ne Zahl, oder er existiert nicht, dann
> schreibt man manchmal [mm]\infty[/mm]
> aber 1. wie kommst du von [mm]\bruch{\bruch{0}{0}}{\infty}[/mm] auf
> [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm]
> einfach [mm]\bruch{0}{0}=0[/mm] oder wie.
Ehrlich gesagt hab ich daraus einen Doppelbruch gemacht... Kannst du mir bitte sagen, wie man sonst auf dieses Ergebnis kommt?
Anscheinend bin ich nicht in der Lage es selbst auszurechnen -.- .
> 2. [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm] ist keine zahl.
> WENN der Z eines Bruches bel klein, der nenner beliebig
> groß wird ist der GW 0
> wenn der Z des Bruches beschränkt ist und der Nenner bel.
> groß wird ist der GW 0 und so weiter. wenn Z gegen 0 und
> Nenner gegen 0 geht weiss man erstmal nix!
> Gruss leduart
>
Ok also ist der Grenzwert dieser Aufgabe 0?
Hätte ich beispielsweise den Bruch [mm] \bruch{7}{0}, [/mm] wäre der Grenzwert [mm] \infty [/mm] oder?
Danke!
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 07.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kann ja nicht die endlosen post alle lesen, du musst also schon sagen woher der Bruch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] kommst, meist ist dann doch L'Hopital dran,
du kannst dich nicht drauf verlassen, dass jemand alle posts durchforstet um zu sehen, was du meinst. also schreib immer vollständige Rechnungen hin.
auch wenn so was wie 0/˜infty salöpp rauskommt kann man das nicht hinter nen lim schreiben, wie gesagt, da kommt immer ne Zahl, oder existiert nicht hin, wenn das bei euch üblich ist auch [mm] \infty
[/mm]
Gruss leduart
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Natürlich, wie dumm von mir.
Also ich hab folgende Funktion:
$ [mm] f^{(1)}(t) =e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot \bruch{cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}} [/mm] $
Von der oberen Funktion soll ich nun den Grenzwert berechnen.
Der Grenzwert von [mm] e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}} [/mm] wurde schon in einem vorigen Post berechnet und beträgt [mm] e^{1}.
[/mm]
Also hab ich folgendes dastehen:
[mm] e^{1} \limes_{t\rightarrow 0+} \bruch{cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}} [/mm] = ??
Setze ich in diesen Bruch nun für t = 0 ein erhalte ich folgendes:
[mm] e^{1} \cdot \bruch{\infty \cdot (-\infty) - (-\infty) \cdot \infty}{-\infty^{2}}
[/mm]
Das ergibt doch:
[mm] e^{1} \cdot \bruch{0}{\infty} [/mm] = 0
0 im Zähler da [mm] -\infty \cdot \infty [/mm] = [mm] -\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] - [mm] (-\infty) [/mm] = 0
Das stimmt so oder?
Also ist der Grenzwert 0.
Hab ich das nun richtig verstanden?
Lg
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Hallo dreamweaver,
nein, so funktioniert das nicht.
> Also ich hab folgende Funktion:
> [mm]f^{(1)}(t) =e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot \bruch{cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}}[/mm]
>
> Von der oberen Funktion soll ich nun den Grenzwert
> berechnen.
>
> Der Grenzwert von [mm]e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}[/mm] wurde schon
> in einem vorigen Post berechnet und beträgt [mm]e^{1}.[/mm]
Zur Angabe eines Grenzwerts gehört auch die Stelle, an der er betrachtet wird. Das wird hier leider erst im folgenden deutlich.
> Also hab ich folgendes dastehen:
>
> [mm]e^{1} \limes_{t\rightarrow 0+} \bruch{cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}}[/mm]
> = ??
>
> Setze ich in diesen Bruch nun für t = 0 ein erhalte ich
> folgendes:
>
> [mm]e^{1} \cdot \bruch{\infty \cdot (-\infty) - (-\infty) \cdot \infty}{-\infty^{2}}[/mm]
>
> Das ergibt doch:
> [mm]e^{1} \cdot \bruch{0}{\infty}[/mm] = 0
Nein!
> 0 im Zähler da [mm]-\infty \cdot \infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm]
> - [mm](-\infty)[/mm] = 0
> Das stimmt so oder?
Nein, so geht das Rechnen mit dem Unendlichen nicht. Existierende Regeln sind diese:
[mm] \infty+\infty=\infty
[/mm]
[mm] \infty*\infty=\infty
[/mm]
Ein paar weitere lassen sich daraus herleiten.
Insbesondere aber zeigen gerade diese beiden Gleichungen, dass [mm] \infty-\infty [/mm] und auch [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] nicht zu definieren sind. Beide Terme können je nach Zusammenhang jedes beliebige Ergebnis haben (bei dieser Division natürlich kein negatives).
> Also ist der Grenzwert 0.
Nein, dazu hast Du noch nichts ermittelt.
> Hab ich das nun richtig verstanden?
Das sieht nicht so aus.
Grüße
reverend
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Gut, also hab ich bei:
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) =e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot \bruch{cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}} [/mm] $
als Ergebnis [mm] e^{1} \cdot \bruch{\infty}{\infty} [/mm] und ich muss nochmal die Regel von l'hopital anwenden?
Den Term mit der Exponentialfunktion muss ich aber nicht mehr ableiten oder?
Gut jetzt hab ich es abgeleitet und es kommt wieder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] raus? Wieder l´Hopital? Wie lange soll das so gehen? Der ln wird sich doch nie auflösen oder? Gibt es also keinen Grenzwert?
Wie kommt schachuzipus darauf dass der Bruch gegen [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] strebt?
Zitat: Schachuzipus:
Hallo nochmal,
> Warum ist hier die Aufgabe falsch?
Wie ist denn eine Potenz mit reellem Exponenten definiert?
Doch nur für positive Basis, sowas wie $ [mm] (-0,5)^{\pi} [/mm] $ ist nicht definiert.
Wie willst du das in die Exponentialschreibweise umschreiben?
$ [mm] =e^{\pi\cdot{}\ln(-0,5)} [/mm] $ ??
> Was bedeutet f: (0, $ [mm] \infty) \rightarrow \IR [/mm] $ eigentlich?
Dass die Funtion von 0 (ausschließlich) bis $ [mm] \infty [/mm] $ definiert ist, was sie aber nicht ist ...
> Wie wirkt sich das auf die Rechnung aus?
Schränke den Def.bereich gem. Al Chwarizmis Bemerkung ein, dann hast du positive Sinuswerte und die Fkt. ist wunderbar definiert.
Da du dich eh nur für den GW für $ [mm] t\to [/mm] 0^+ $ interessierst, reicht (0,1) als Defbereich.
>
> Ja stimmt, dann müsste es heißen
> $ [mm] \limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) [/mm] = [mm] \bruch{-\infty}{+\infty} [/mm] $
> oder?
Begründe das mal!
Der Vorfaktor $ [mm] e^{(...)} [/mm] $ strebt nach a) gegen ??
Und der Zähler gegen $ [mm] -\infty-\frac{-\infty}{0} [/mm] $
Wieso sollte das $ [mm] -\infty [/mm] $ sein?
So wie ich das sehe, strebt der Bruch gegen $ [mm] \frac{0}{\infty} [/mm] $ ...
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
Zitat Ende.
Lg dreamweaver
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Hallo dreamweaver,
Du bist schon auf der richtigen Spur.
> Gut, also hab ich bei:
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) =e^{\bruch{ln(sin(t))}{ln(t)}}\cdot \bruch{cot(t) \cdot ln(t) - ln(sin(t)) \cdot \bruch{1}{t}}{ln(t)^{2}}[/mm]
>
> als Ergebnis [mm]e^{1} \cdot \bruch{\infty}{\infty}[/mm] und ich
> muss nochmal die Regel von l'hopital anwenden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So ist es.
> Den Term mit der Exponentialfunktion muss ich aber nicht
> mehr ableiten oder?
Nein, den darfst Du nach den Grenzwertsätzen hier schon mal rausziehen.
> Gut jetzt hab ich es abgeleitet und es kommt wieder
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] raus? Wieder l´Hopital?
Ja, genau.
> Wie lange
> soll das so gehen? Der ln wird sich doch nie auflösen
> oder? Gibt es also keinen Grenzwert?
Doch, es gibt ihn. Wie lange das allerdings so weitergeht, sieht man erst, wenn mans probiert. Und dafür ist die Aufgabe in der Tat eher unangenehm: die Ableitungen werden immer umfangreicher. So wie es aussieht, wird man an irgendeiner Stelle geschickt zusammenfassen müssen. Ich sehe aber auch bei der nächsten Ableitung noch nicht, wie.
Grüße
reverend
PS: Wie schachuzipus da ein Ende sieht, erkenne ich zZ auch nicht. Darum gehe ich mal nicht weiter auf das Zitat ein.
>
> Wie kommt schachuzipus darauf dass der Bruch gegen
> [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm] strebt?
> Zitat: Schachuzipus:
> Hallo nochmal,
>
> > Warum ist hier die Aufgabe falsch?
>
> Wie ist denn eine Potenz mit reellem Exponenten definiert?
>
> Doch nur für positive Basis, sowas wie [mm](-0,5)^{\pi}[/mm] ist
> nicht definiert.
>
> Wie willst du das in die Exponentialschreibweise
> umschreiben?
>
> [mm]=e^{\pi\cdot{}\ln(-0,5)}[/mm] ??
>
>
> > Was bedeutet f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR[/mm] eigentlich?
>
> Dass die Funtion von 0 (ausschließlich) bis [mm]\infty[/mm]
> definiert ist, was sie aber nicht ist ...
>
> > Wie wirkt sich das auf die Rechnung aus?
>
> Schränke den Def.bereich gem. Al Chwarizmis Bemerkung ein,
> dann hast du positive Sinuswerte und die Fkt. ist wunderbar
> definiert.
>
> Da du dich eh nur für den GW für [mm]t\to 0^+[/mm] interessierst,
> reicht (0,1) als Defbereich.
>
> >
> > Ja stimmt, dann müsste es heißen
> > [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} f^{(1)}(t) = \bruch{-\infty}{+\infty}[/mm]
>
> > oder?
>
> Begründe das mal!
>
> Der Vorfaktor [mm]e^{(...)}[/mm] strebt nach a) gegen ??
>
> Und der Zähler gegen [mm]-\infty-\frac{-\infty}{0}[/mm]
>
> Wieso sollte das [mm]-\infty[/mm] sein?
>
> So wie ich das sehe, strebt der Bruch gegen
> [mm]\frac{0}{\infty}[/mm] ...
>
> >
> > Lg
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
> Zitat Ende.
>
> Lg dreamweaver
>
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Hallo zusammen,
ich habe mir den Bruch mal plotten lassen:
Zähler:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Geht also gegen 0
Nenner:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Geht also gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Gesamtbruch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Geht insgesamt gegen 0
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 09.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
das ergaben meine Versuche mit einer Tabellenkalkulation auch.
Fragt sich nur noch, wie man das hier ohne numerische Krücken sauber zeigt.
Liebe Grüße
reverend
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