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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert ln(tan3x) ...
Grenzwert ln(tan3x) ... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert ln(tan3x) ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Fr 20.05.2005
Autor: pisty

Hallo ihr,

ich habe irgendwie ein Problem mit folgender Grenzwertaufgabe:
(berechnet werden soll der Grenzwert)

[mm] \limes_{n\rightarrow\+0} \bruch{ln(tan3x)}{ln(tan2x)} [/mm]

hab schon so angefangen, aber weiß irgendwie nicht weiter

[mm] \bruch{1/tan3x}{1/tan2x} [/mm] (bis hier hin wars ja nicht weiter schwer ;-)


        
Bezug
Grenzwert ln(tan3x) ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Fr 20.05.2005
Autor: Max

Hallo pisty,

Du kannst ja noch [mm] $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] benutzen. Ansonsten würde ich auch mal die MBAdditionstheoreme ansehen, evtl. gibt es da ja auch Möglichkeiten.

Gruß Max

Bezug
        
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Grenzwert ln(tan3x) ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Sa 21.05.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo pisty

2mal L'Hospital

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Bezug
Grenzwert ln(tan3x) ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 So 22.05.2005
Autor: pisty

Hallo,
aber auch mit L´Hopital komm ich nicht weiter

erhalte dann [mm] \bruch{1/sin3x}{cos3x}/\bruch{1/sin2x}{cos2x} [/mm]
dort 0 eingesetzt ergibt ja wieder einen nich definierten ausdruck

im TR kommt ja der Grenzwert 1 raus ... aber wie kommt man nur darauf?

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Bezug
Grenzwert ln(tan3x) ...: innere Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 So 22.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Pisty!


Wenn Du beim ersten Schritt (richtigerweise) den MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital anwendest, vergißt Du leider jeweils die innere Ableitung:


Zum Beispiel:   [mm] $\left[ \ \ln(\tan(2x))\right]' [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{\tan(2x)}}_{"aussere \ Abl.} [/mm] \ × \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{\cos^2(2x)} * 2}_{innere \ Abl.}$ [/mm]


Nach diesem ersten Schritt dann Max' Tipp aufgreifen mit: [mm] $\tan(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(z)}{\cos(z)}$ [/mm]


Nun etwas Umformen und Kürzen.

Anschließend folgendes Additionstheorem anwenden:

[mm] $2*\sin(z)*\cos(z) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2*z)$ [/mm]


Als letzter Schritt ist dann nochmals der MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital anzuwenden, und Du erhältst endlich ein Ergebnis (Dein "Verdacht" mit 1 ist nicht schlecht ;-) ).


Versuche das doch mal. Und wenn Du nicht weiterkommen solltest, poste doch bitte Deine genauen Rechenschritte.

Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwert ln(tan3x) ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Mo 23.05.2005
Autor: pisty

hi,

oje ... ich glaub da verliesen sie mich ...
wo erhältst du das [mm] {\cos^2(2x)} [/mm] bei der inneren Ableitung her?

und substituierst du dann (wegen [mm] {\tan(z)} [/mm]

hab mich nun mal daran versucht .... aber erhalte dann zusammengefasst dieses hier:

[mm] \limes_{x\rightarrow\+0} \bruch{{\sin2x}/{\cos2x}*\cos^2(2x)*2}{{\sin3x}/{\cos3x}*\cos^2(3x)*3} [/mm]

allerdings hab ich ja das [mm] {\sin} [/mm]  dann im Bruch stehen und kann den Additionstheorem nicht anwenden ...

vielleicht ist es doch sinnvoll, die Lösungsschritte einzeln für mich darzulegen.
Hatte das heute nochmal mit einem Freund durchgerechnet - der kam aber auf einen Grenzwert von 0.

Grüße
pisty

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Grenzwert ln(tan3x) ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mo 23.05.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo pisty

für den cos kannst Du ja überall schon 1 einsetzen

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert ln(tan3x) ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Mo 23.05.2005
Autor: pisty

hallo,

wenn ich in
[mm] \limes_{x\rightarrow\+0} \bruch{{\sin2x}/{\cos2x}\cdot{}\cos^2(2x)\cdot{}2}{{\sin3x}/{\cos3x}\cdot{}\cos^2(3x)\cdot{}3} [/mm]
[mm] {\cos=1} [/mm] setze, dann erhalte ich aber wieder {0/0} als Ausdruck

ich weiß mit dem Additionstheorem nichts richtig anzufangen ... oder wie ich nun weiter fortfahre

grüße
pisty



Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert ln(tan3x) ...: Nochmal de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Di 24.05.2005
Autor: Loddar

Hallo pisty!


Welcher Ausdruck verbleibt denn nun noch?

Wenn Du nun noch einmal den MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital anwendest, bist Du endlich am Ziel ;-) ...


Gruß
Loddar


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