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Grenzwert logarithmische Abl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Do 07.07.2016
Autor: Killercat

Guten Abend,

ich habe folgendes zu berechnen, weiß aber (noch) nicht wirklich wie und hatte gehofft, hier etwas Hilfe diesbzgl. zu finden.

[mm] \lim\limits_{R \rightarrow \infty}{\int_{\delta D_R(0)} \frac {p'(z)}{p(z)} dz }[/mm] wobei p(z) ein Polynom der Ordnung n sein soll.

Ich bin für Hilfe sehr dankbar

        
Bezug
Grenzwert logarithmische Abl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Do 07.07.2016
Autor: Chris84


> Guten Abend,
>  
> ich habe folgendes zu berechnen, weiß aber (noch) nicht
> wirklich wie und hatte gehofft, hier etwas Hilfe diesbzgl.
> zu finden.
>  
> [mm]\lim\limits_{R \rightarrow \infty}{\int_{\delta D_R(0)} \frac {p'(z)}{p(z)} dz }[/mm]
> wobei p(z) ein Polynom der Ordnung n sein soll.
>  

Was soll [mm] $\delta D_R(0)$ [/mm] sein? Der Kreis den Ursprung mit Radius $R$ (im Limes dann also ganz [mm] $\IC$)? [/mm]

> Ich bin für Hilfe sehr dankbar

Schau mal hier: []Null- und Polstellen zählendes Integral.

Gruss,
Chris


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Grenzwert logarithmische Abl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Do 07.07.2016
Autor: Killercat

Das sollte eig ein anderes Zeichen sein(welches ich grad aber nicht finde).. gemeint war der Rand

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Grenzwert logarithmische Abl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Do 07.07.2016
Autor: Killercat

Okay. Die Idee habe ich verstanden, nur der limes macht mir grad noch etwas zu schaffen. Wie bastel ich den da mit rein?

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Grenzwert logarithmische Abl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Do 07.07.2016
Autor: Chris84


> Okay. Die Idee habe ich verstanden, nur der limes macht mir
> grad noch etwas zu schaffen. Wie bastel ich den da mit
> rein?

Naja, das sollte doch nicht mehr so schwierig sein :)

Welche Null-/Polstellen betrachtet man, wenn man [mm] $\delta D_R [/mm] (0)$ hat? (Meintest du fuer den Rand eig. dieses Zeichen hier: [mm] $\partial$ [/mm] ?)
Was passiert mit dem Integrationsgebiet, wenn [mm] $R\rightarrow\infty$? [/mm] (Hab ich ja eigentlich schon geschrieben.)
Welche Null-/Polstellen betrachtet man dann!?

Gruss,
Chris

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Grenzwert logarithmische Abl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Fr 08.07.2016
Autor: fred97

Falls Ihr das Argumentprinzip (wie es mein Vorredner empfohlen hat) (noch) nicht hattet, kannst Du die Aufgabe auch so erledigen:

Sei p ein Polynom vom Grad n [mm] \ge [/mm] 1 mit den Nullstellen [mm] z_1,...,z_n, [/mm] also

  [mm] p(z)=a_n(z-z_1)*...*(z-z_n) [/mm]    (mit [mm] a_n \ne [/mm] 0).


Zeige mit Induktion nach n:

   [mm] \bruch{p'(z)}{p(z)}= \bruch{1}{z-z_1}+...+ \bruch{1}{z-z_n}. [/mm]

Ist nun $R> [mm] \max\{|z_1|,...,|z_n|\}$, [/mm] so ist

   [mm] $\int_{\partial D_R(0)} \frac [/mm] {p'(z)}{p(z)} dz [mm] =\int_{\partial D_R(0)} (\bruch{1}{z-z_1}+...+ \bruch{1}{z-z_n}) [/mm] dz .$

Der Wert des Integrals

   [mm] \int_{\partial D_R(0)} {\bruch{1}{z-z_k} dz } [/mm]

dürfte bekannt sein.

FRED

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