Grenzwert mit Wurzeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 So 15.04.2007 | | Autor: | Tiffany |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert
[mm] $\lim_{t \rightarrow \infty} \left[\sqrt{a(t + 1)^2 + b(t + 1) + c} - \sqrt{at^2 + bt + c}\right]$ [/mm] |
Wie geht man da heran? Im ersten Versuch habe ich den quadrierten Ausdruck untersucht, komme da aber auf keinen grünen Zweig.
Tiffany
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Hallo Tiffany,
erweitere mal die ganze Chose mit [mm] $\frac{\sqrt{a(t + 1)^2 + b(t + 1) + c} + \sqrt{at^2 + bt + c}}{\sqrt{a(t + 1)^2 + b(t + 1) + c} + \sqrt{at^2 + bt + c}}$, [/mm] um die dritte binom. Formel hinzubasteln.
Das ergibt: [mm] $\frac{a(t+1)^2+b(t+1)+c-(at^2+bt+c)}{\sqrt{a(t + 1)^2 + b(t + 1) + c}+\sqrt{at^2+bt+c}}$
[/mm]
Dies nun ein bissl zusammenfassen:
[mm] $=\frac{2at+a+b}{\sqrt{at^2+2at+1+bt+b+c}+\sqrt{at^2 + bt + c}}$
[/mm]
Nun im Zähler t und im Nenner in den Wurzeln [mm] t^2 [/mm] ausklammern:
[mm] $=\frac{t(2a+\frac{a}{t}+\frac{b}{t})}{\sqrt{t^2(a+\frac{2a}{t}+\frac{1}{t^2}+\frac{b}{t}+\frac{b}{t^2}+\frac{c}{t^2})}+\sqrt{t^2 (a+ \frac{b}{t} + \frac{c}{t^2})}}$
[/mm]
Nun [mm] t^2 [/mm] aus den Wurzeln rausholen und ausklammern und dann kürzen:
[mm] =$\frac{t(2a+\frac{a}{t}+\frac{b}{t})}{t\left(\sqrt{a+\frac{2a}{t}+\frac{1}{t^2}+\frac{b}{t}+\frac{b}{t^2}+\frac{c}{t^2}}+\sqrt{a+ \frac{b}{t} + \frac{c}{t^2}}\right)}=\frac{2a+\frac{a}{t}+\frac{b}{t}}{\sqrt{a+\frac{2a}{t}+\frac{1}{t^2}+\frac{b}{t}+\frac{b}{t^2}+\frac{c}{t^2}}+\sqrt{a+ \frac{b}{t} + \frac{c}{t^2}}}$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow\frac{2a}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}=\frac{2a}{2\sqrt{a}}=\sqrt{a}$ [/mm] für [mm] $t\rightarrow\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Tiffany |
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für den Rechenweg, ich war schon am Verzweifeln ob der vielen Wurzelausdrücke 
Tiffany
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