Grenzwert mit l’Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 26.02.2016 | | Autor: | Fred2 |
| Aufgabe | Bestimmen des nachfolgenden Grenzwertes:
[mm] \limes_{x \to 0} (\bruch{1}{x^2}*(1-\cos(2x))) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,ich habe Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen.
Mein Ansatz:
Da [mm] 1/x^2 [/mm] gegen undendlich und 1-cos(2x) gegen 0 geht also [mm] \infty*0 [/mm] nuss
ich es umformen zu [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] damit es mit l’Hospital zu lösen ist also:
[mm] \bruch{\bruch{1}{x^2}}{\bruch{1}{1-\cos(2x)}}
[/mm]
leider bleibe ich dann in der Ableitung immer im Fall [mm] \bruch{0}{0} [/mm] hängen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 26.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wenn du das Additionstheorem [mm] \cos(2x)=1-2\sin^{2}(x) [/mm] nutzt, wird die Funktion bedeutend einfacher, denn dann wird
[mm] \frac{1-\cos(2x)}{x^{2}}=\frac{2\sin^{2}(x)}{x^{2}}
[/mm]
Denn nun kannst du getrost den Fall [mm] \frac{0}{0} [/mm] annehmen, und den guten l’Hospital darauf anwenden, nach spätestens doppelter Anwendung hast du dann ja einen Variablenfreien Nenner.
Das sollte einfacher sein, als dein Weg.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Fr 26.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo zusammen!
> Wenn du das Additionstheorem [mm]\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x)[/mm] nutzt,
> wird die Funktion bedeutend einfacher, denn dann wird
>
> [mm]\frac{1-\cos(2x)}{x^{2}}=\frac{2\sin^{2}(x)}{x^{2}}[/mm]
Bis hierhin würde ich es genauso machen.
> Denn nun kannst du getrost den Fall [mm]\frac{0}{0}[/mm] annehmen,
> und den guten l’Hospital darauf anwenden, nach
> spätestens doppelter Anwendung hast du dann ja einen
> Variablenfreien Nenner.
Aus
[mm] $\frac{\sin(x)}{x}\to [/mm] 1$ für [mm] $x\to [/mm] 0$
folgt (mit Grenzwertsätzen)
[mm] $\frac{\sin^2(x)}{x^2}=\frac{\sin(x)}{x}*\frac{\sin(x)}{x}\to [/mm] 1*1=1$ für [mm] $x\to [/mm] 0$.
Gruß
DieAcht
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Hallo Fred!
Das geht doch viel einfacher, wenn man den Term auf einem Bruch zusammenzieht:
[mm]\limes_{x \to 0}\left[\bruch{1}{x^2}*(1-\cos(2x))\right] \ = \ \limes_{x \to 0} \bruch{1-\cos(2x)}{x^2}[/mm]
Hier liegt bereits der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor.
Und mit zweimaliger Hilfe von Herrn de l'Hospital hast Du auch Dein Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 26.02.2016 | | Autor: | Fred2 |
Danke erstmal für die Antworten :D
Mit Additiontheoremen habe ich leider noch nicht gearbeitet ;/
Die Lösung wäre dann:
[mm] \bruch{1-\cos(2x)}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{sin(2x)*2}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{cos(2x)*4}{2} [/mm] = [mm] \limes_{n \to 0}=2 [/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 26.02.2016 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Danke erstmal für die Antworten :D
>
> Mit Additiontheoremen habe ich leider noch nicht gearbeitet
> ;/
prizipiell schadet es nicht damit mal anzufangen. Aber in diesem Fall ist das tatsächlich überflüssig.
>
> Die Lösung wäre dann:
>
> [mm]\bruch{1-\cos(2x)}{x^2}[/mm] = [mm]\bruch{sin(2x)*2}{2x}[/mm] =
> [mm]\bruch{cos(2x)*4}{2}[/mm] = [mm]\limes_{n \to 0}=2[/mm]
>
> ?
Das Ergebnis stimmt, aber die Notation ist abenteuerlich. Wäre ich Mathematiker und müsste das korrigieren würde ich 0 Punkte vergeben. Keins der Gleichheitszeichen gilt und [mm] $\limes_{n \to 0}=2$ [/mm] ist mathematisch gesehen Unfug.
Gruß,
notinX
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Natürlich hat notinX Recht, dass das Ganze nicht sauber aufgeschrieben wurde. Schreib einfach:
Für [mm] \limes_{x \to 0} [/mm] gilt nach L'Hospital: [mm]\bruch{1-\cos(2x)}{x^2}[/mm] [mm] \mapsto[/mm] [mm]\bruch{sin(2x)*2}{2x}[/mm] [mm] \mapsto[/mm] [mm]\bruch{cos(2x)*4}{2}[/mm] [mm] \mapsto [/mm] 2
Dann ist nix falsch, und die mathematischen Korinthenkacker können dich alle mal...
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