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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwert: n als Exponent
Grenzwert: n als Exponent < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: n als Exponent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:24 Di 26.06.2012
Autor: Mathe-Andi

Hallo,

ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema aufmachen, aber ich hab fast zu jeder Teilaufgabe eine Frage.

Ich weiß hier nicht, was ich machen soll:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1} [/mm]

Hat jemand einen Tipp?

        
Bezug
Grenzwert: n als Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:42 Di 26.06.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema
> aufmachen, aber ich hab fast zu jeder Teilaufgabe eine
> Frage.
>  
> Ich weiß hier nicht, was ich machen soll:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}[/mm]
>  
> Hat jemand einen Tipp?

[mm] (a_n) [/mm] ist divergent. Betrachte die Teilfolgen [mm] (a_{2n}) [/mm] und  [mm] (a_{2n-1}) [/mm]

FRED


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Grenzwert: n als Exponent: eigener Thread
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:40 Di 26.06.2012
Autor: Loddar

Hallo Andi!


> ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema
> aufmachen,

Der Übersichtlichleit halber, halte ich das aber für die bessere Idee.


Gruß
Loddar


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Grenzwert: n als Exponent: Alternative zu Freds Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Di 26.06.2012
Autor: M.Rex

Hallo


> Hallo,
>  
> ich möchte nicht für jede Grenzwert-Frage ein neues Thema
> aufmachen, aber ich hab fast zu jeder Teilaufgabe eine
> Frage.
>  
> Ich weiß hier nicht, was ich machen soll:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Zuerst mal zur korrekten Notation, dazu ist dir ja im anderen Diskussionsstrang einiges gesagt worden.

$ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}\cdot{}n^{2}}{n^{2}+1} $

>  
> Hat jemand einen Tipp?


Alternativ zu Freds Weg kannst du auch den Standardweg nehmen, und die höchste Potenz - hier n² - ausklammern.

$ \frac{(-1)^{n}\cdot{}n^{2}}{n^{2}+1} $
$ =\frac{(-1)^{n}\cdot{}n^{2}}{n^{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)} $
$ =\frac{(-1)^{n}}{1+\frac{1}{n^{2}} $

Nun erkennt man recht gut, dass die Folge zwei Häufungspunkte hat, wenn man n\to\infty laufen lässt.

Marius


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Grenzwert: n als Exponent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mi 27.06.2012
Autor: Mathe-Andi

Ok, musste mir dazu wieder einiges anlesen, aber so langsam verstehe ich es.

Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist divergent, da eine der Teilfolgen divergiert.

Jetzt gehts um die Schreibweise. Ich habe das so aufgeschrieben:

Den Limes habe ich gleich weggelassen, da man ihn ja nur hinschreibt, wenn die Folge [mm] a_{n} [/mm] tatsächlich einen Grenzwert hat. Ich habe alternativ n gegen unendlich gehen lassen.

[mm] a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]  [mm]n\to\infty[/mm]  [mm] \bruch{(-1)^{n}\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}}{1} [/mm]

Ausgedrückt durch [mm]a_{n}=\bruch{b_{n}}{c_{n}}[/mm] so ist [mm] b_{n} [/mm] unbestimmt divergent, da diese Teilfolge zwei Häufungspunkte besitzt (-1;1).

Die Schreibweise mit der Klammer am Ende ist nicht schön, aber ich habe nirgends eine Schreibweise für Häufungspunkte gefunden bzw. um es klar zu machen.



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Grenzwert: n als Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mi 27.06.2012
Autor: Anazeug


> Ok, musste mir dazu wieder einiges anlesen, aber so langsam
> verstehe ich es.
>  
> Die Folge [mm]a_{n}[/mm] ist divergent, da eine der Teilfolgen
> divergiert.
> Jetzt gehts um die Schreibweise. Ich habe das so
> aufgeschrieben:
>  
> Den Limes habe ich gleich weggelassen, da man ihn ja nur
> hinschreibt, wenn die Folge [mm]a_{n}[/mm] tatsächlich einen
> Grenzwert hat. Ich habe alternativ n gegen unendlich gehen
> lassen.
>  
> [mm]a_{n}= \bruch{(-1)^{n}*n^{2}}{n^{2}+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]  [mm]n\to\infty[/mm]  
> [mm]\bruch{(-1)^{n}\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}}{1}[/mm]
>  
> Ausgedrückt durch [mm]a_{n}=\bruch{b_{n}}{c_{n}}[/mm] so ist [mm]b_{n}[/mm]
> unbestimmt divergent, da diese Teilfolge zwei
> Häufungspunkte besitzt (-1;1).
>  
> Die Schreibweise mit der Klammer am Ende ist nicht schön,
> aber ich habe nirgends eine Schreibweise für
> Häufungspunkte gefunden bzw. um es klar zu machen.
>  

Ich würd dir empfehlen nur eine Argumentation zu nutzen, speziell meine ich:

Entweder du benutzt das Argument "Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist divergent, weil eine der Teilfolgen divergiert"

oder "Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist divergent, da [mm] a_{n} [/mm] zwei Häufungspunkte (in dem Fall [mm] x_{1} [/mm] = 1 und [mm] x_{2} [/mm] = -1) besitzt."

Ich würde hier aber eher das Argument nutzen, dass die Folge, wie du und M.Rex gezeigt habt, 2 Häufungspunkte besitzt und somit divergiert.

Schöne Grüße.

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