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Grenzwert nach L'Hospital < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert nach L'Hospital: Probleme mit der Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Mi 22.04.2009
Autor: Blaubaer

Aufgabe
Für folgende Aufgabe soll der Grenzwert ermittelt werden.

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^\wurzel[3]{x^2-1} - 1 }{(x - 1)} [/mm]
[mm] \limes_{x\>\ 1} [/mm]

Anwenden möchte ich die Regel von L'Hospital. Allerdings habe ich schon bei der Ableitung Probleme.

Mein Versuch über die Kettenregel klappt glaube ich nicht so richtig.

z = [mm] x^2 [/mm] -1
z' = 2x

f'(x) = 1/3 ln [mm] b^\wurzel[3]{x^2-1}*2x [/mm]

Es wäre nett wenn mir jemand bei der Ableitung helfen könnte.

Danke.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert nach L'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 22.04.2009
Autor: angela.h.b.


> Für folgende Aufgabe soll der Grenzwert ermittelt werden.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^\wurzel[3]{x^2-1} - 1 }{(x - 1)}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\>\ 1}[/mm]
>  Anwenden möchte ich die Regel von
> L'Hospital. Allerdings habe ich schon bei der Ableitung
> Probleme.

Hallo,

[willkommenmr].

Am besten schaust Du erstmal nach, ob die Aufgabenstellung hier so erschienen ist, wie Du es Dir gedacht hast.

Du sollst wirklich [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^\wurzel[3]{x^2-1} - 1 }{(x - 1)} [/mm] berechnen?

(Da würde ordnungsgemaß eine Angabe zugehören, was b sein soll, vermutlich b>0.)

Aaaaber: mit l'Hospital ist hier nichts, denn Du hast nur unterm Bruchstrich die 0, überm Bruchstrich steht [mm] b^{-1}. [/mm]


Ich hab's! Du sollst bestimmt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{b^{\wurzel[3]{x^2-1} } - 1 }{(x - 1)} [/mm] berechnen,

und Dein Problem ist die Ableitung von [mm] g(x)=b^{\wurzel[3]{x^2-1} }. [/mm]

Der Trick: es ist [mm] b=e^{\ln(b)}, [/mm]

also

[mm] g(x)=e^{\ln(b)*\wurzel[3]{x^2-1}}=e^{\ln(b)*(x^2-1)^{\bruch{1}{3}}} [/mm]


Das geht unter mehrfacher Anwendung der Kettenregel:

[mm] g'(x)=e^{\ln(b)*(x^2-1)^{\bruch{1}{3}}}*\blue{[\ln(b)*(x^2-1)^{\bruch{1}{3}}]'} [/mm]

Das Blaue ist dann wieder mit der Kettenregel abzuleiten.

[mm] \ln(b) [/mm] ist eine Konstante, die äußere Funktion ist [mm] (...)^{\bruch{1}{3}}, [/mm] die innere [mm] x^2-1. [/mm]


Vielleicht versuchst Du es mit diesen Hinweisen nochmal.

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Grenzwert nach L'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 22.04.2009
Autor: Blaubaer

Hi Angel(a) :-),

bin mit der Notation hier noch nicht so geübt, deshalb hatte ich das - 1 im Exponenten stehen und nicht direkt über den Bruch.

Ich denke ich habe nun dank Deines Hinweises die Ableitung:

f(x) = [mm] b^z [/mm] * ln b

z = [mm] \wurzel[3]{x^2-1} [/mm]
u = [mm] x^2-1 [/mm]          u'= 2x
v = [mm] u^\bruch{1}{3} [/mm]        v'= 1/3 * [mm] u^{\bruch{-2}{3}} [/mm]
somit ist
z'= [mm] 1/3(x^2-1)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] * 2x

und
f'(x) = ln b * [mm] b^\bruch{1}{3}*(x^2-1)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] * 2x

Allerdings, was mache ich dann mit den ln b in dem l'Hospital?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert nach L'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mi 22.04.2009
Autor: reverend

Hallo Blaubaer,

wahrscheinlich liegt es nur an der fehlenden Übung mit dem Formeleditor, aber Deine Ableitung stimmt so noch nicht.

Der [mm] \ln{b} [/mm] stört nicht im L'Hospital, sondern ist - wie Angela schon schrieb - als Konstante zu behandeln.

Grüße
reverend

Bezug
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