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Hallo nocheinmal,
die Lösung sagt mir, es gibt keinen Grenzwert für folgende Aufgabe (ich bekomme aber 0 heraus):
[mm] a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{14}}{n^{10}+2} [/mm] = [mm] -n^{14} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^{10}+2} [/mm] = [mm] -n^{14} [/mm] * 0 = 0
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo,
> die Lösung sagt mir, es gibt keinen Grenzwert für
> folgende Aufgabe (ich bekomme aber 0 heraus):
>
> [mm]a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}}[/mm] = [mm]-\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)}[/mm] = [mm]-\bruch{n^{14}}{n^{10}+2}[/mm] = [mm]-n^{14}[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^{10}+2}[/mm] = [mm]-n^{14}[/mm] * 0
Hier liegt dein Fehler. Wenn du den Grenzwert bildet, dann doch für den gesamten Ausdruck und nicht noch ein paar n's stehen lassen.
> = 0
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:52 Di 26.06.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
[mm] a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{14}}{n^{10}+2} [/mm] = [mm] -n^{14} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^{10}+2} [/mm] = [mm] -n^{14} [/mm] * [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = nicht definiert = kein Grenzwert
Kann man das jetzt so als richtig stehen lassen?
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Hallo,
> [mm]a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{14}}{n^{10}+2}[/mm] = [mm]-n^{14}[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^{10}+2}[/mm] =
> [mm]-n^{14}[/mm] * [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = nicht definiert = kein Grenzwert
>
> Kann man das jetzt so als richtig stehen lassen?
Ich sehe nirgends einen Limes und die letzte Gleichung stimmt absolut überhaupt nicht.
Wie kommt das zu stande? Läuft $ n [mm] \to [/mm] 0 $ ? Selbst dann hast du unter dem Bruch alles, nur keine Null.
Grüße
ChopSuey
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{14}}{n^{10}+2} [/mm] = [mm] -\bruch{n^{10}(n^{4})}{n^{10}(1+2n^{-10})}=-n^{4}
[/mm]
Sorry, unter dem Bruch kann gar keine 0 stehen, der höchste Exponent ist ja im Zähler. Den Limes habe ich nun vorne hinzugeschrieben, n geht gegen unendlich.
Ist der Grenzwert nicht definiert, weil ich [mm] -n^{4} [/mm] über habe, die ich nicht wegbekomme?
Aber ich kann ja auch schreiben [mm] -\bruch{n^{4}}{1} [/mm] und dann habe ich im Zähler den höchsten Exponenten stehen und es müsste [mm] \infty [/mm] herauskommen!? Höchster Exponent im Zähler, wird unendlich. Höchster Exponent im Nenner, wird Null. Warum ist der Grenzwert nicht definiert? Das habe ich noch nicht verstanden.
@Marcel: Ich habe auch deine Antwort aufmerksam gelesen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{14}}{n^{10}+2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{10}(n^{4})}{n^{10}(1+2n^{-10})}=-n^{4}[/mm]
Das erste "=" ist Unfug und das letzte"=" ist falsch.
Zeige: für n hinreichend groß ist [mm] $a_n \le [/mm] -n.$
FRED
>
> Sorry, unter dem Bruch kann gar keine 0 stehen, der
> höchste Exponent ist ja im Zähler. Den Limes habe ich nun
> vorne hinzugeschrieben, n geht gegen unendlich.
>
> Ist der Grenzwert nicht definiert, weil ich [mm]-n^{4}[/mm] über
> habe, die ich nicht wegbekomme?
>
> Aber ich kann ja auch schreiben [mm]-\bruch{n^{4}}{1}[/mm] und dann
> habe ich im Zähler den höchsten Exponenten stehen und es
> müsste [mm]\infty[/mm] herauskommen!? Höchster Exponent im
> Zähler, wird unendlich. Höchster Exponent im Nenner, wird
> Null. Warum ist der Grenzwert nicht definiert? Das habe ich
> noch nicht verstanden.
>
> @Marcel: Ich habe auch deine Antwort aufmerksam gelesen!
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{14}}{n^{10}+2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{10}(n^{4})}{n^{10}(1+2n^{-10})}=-n^{4}[/mm]
das kannst Du so immer noch nicht schreiben. Der Limes gehört entweder überall hin (und das macht man meistens direkt, wenn man weiß, dass er existiert), oder Du schreibst halt nur Gleichungen für $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest hin, und läßt dann $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben.
(Kurzbeispiel: Es gilt [mm] $\frac{n^2-1}{n-1}=\frac{(n+1)(n-1)}{n-1}=n+1\;\; \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}\;\;\infty\,.$)
[/mm]
Du kannst schreiben [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^4+2}=0\,.$ [/mm] Du kannst aber nicht sowas schreiben wie [mm] $\lim_{n \to \infty}(-1)^n\,,$ [/mm] weil dieser nicht existiert.
Und bei [mm] $\pm \infty$ [/mm] gibt's natürlich auch Konventionen, wie etwa [mm] $\lim_{n \to \infty} n=\infty\,.$ [/mm] Aber nicht schreiben könntest Du etwa [mm] $\lim_{n \to \infty}(-1)^n*n\,,$ [/mm] weil dieser wieder nicht existiert. (In einer Aufgabenstellung bedeutet die Frage: "Existiert [mm] $\lim_{n \to \infty}(-1)^n$?" [/mm] dann eigentlich, ob der Ausdruck [mm] $\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ [/mm] "sinnvoll ist" - anders gesagt: Es ist die Frage, ob die Folge [mm] $((-1)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert (oder ob sie bestimmt gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert).)
Bei Deiner Aufgabe:
Für [mm] $a_n:=\frac{-n^{16}}{n^{12}+2n^2}$ [/mm] ist [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=-\infty$ [/mm] (dort kannst Du also nicht ohne weiteres nur mit Rechenregeln für in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen argumentieren, weil sonst ja "der Grenzwert" auch in [mm] $\IR$ [/mm] sein müßte - aber [mm] $-\infty \notin \IR$). [/mm] Diese "Limes-Konvention", die ich benutze, besagt eigentlich, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] nicht konvergiert. Die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiert - aber sie divergiert mit einem bestimmten Verhalten: Man sagt daher manchmal auch, dass sie "bestimmt gegen [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert".
Du könntest hier also durchaus das Limes-Symbol verwenden, aber es verwirrt mehr, denn es hilft, denn dann besteht die Gefahr, dass Du eben sowas machst, wie Du machen willst: [mm] $\lim (a_n*b_n)=(\lim a_n)*\lim b_n$ [/mm] zu verwenden, ohne vorher zu prüfen, ob [mm] $\lim a_n$ [/mm] und [mm] $\lim b_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] existieren.
Fred hat nun gesagt: Abschätzen. Mit Deiner Methode zusammen geht das etwa so:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $$a_n=\frac{-n^{16}}{n^{12}+2n^2}=\frac{n^{12}}{n^{12}}*\frac{-n^4}{1+\frac{2}{n^{10}}}=\frac{-n^4}{1+\frac{2}{n^{10}}}\le -n^4/2,$$
[/mm]
also folgt [mm] $a_n \to -\infty\,.$
[/mm]
P.S.
Was Du auch machen kannst:
1. Begründe, dass [mm] $a_n [/mm] < 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
2. Zeige, dass mit [mm] $b_n:=1/a_n$ [/mm] gilt: [mm] $\lim_{n \to \infty}b_n=0$ [/mm] (HIER darfst Du dann mit Rechenregeln für in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen rechnen - aber Obacht, was Du machen darfst und was nicht!)
3. Folgere aus 1.) und 2.), dass [mm] $a_n \to -\infty\,.$
[/mm]
P.P.S.
Anderes Beispiel: Wir wollen begründen, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{n^5+n^2}{n^3+1}=\infty\,.$ [/mm] Offenbar gilt, dass [mm] $\frac{n^5+n^2}{n^3+1} [/mm] > 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist. Setzen wir [mm] $b_n:=1/a_n\,,$ [/mm] so ist jedes [mm] $b_n [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] und es gilt
$$ [mm] \lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty} (1/a_n)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^3+1}{n^5+n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^5}}{1+\frac{1}{n^3}}\blue{\;\text{=}\;}\frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^5}\right)}{\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}=\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}}{\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}}=\frac{0+0}{1+0}=0\,.$$
[/mm]
(Siehst Du, dass die Rechenregeln, die hier verwendet worden sind, alle angewendet werden dürfen? Überlege Dir mal nach dem ersten blauen Gleichheitszeichen, wieso jedes weitere Gleichheitszeichen gilt!)
Aus $0 < [mm] 1/a_n=b_n \to [/mm] 0$ folgt nun aber $0 < [mm] a_n=1/b_n \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> P.P.S.
> Anderes Beispiel: Wir wollen begründen, dass [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{n^5+n^2}{n^3+1}=\infty\,.[/mm]
> Offenbar gilt, dass [mm]\frac{n^5+n^2}{n^3+1} > 0[/mm] für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> ist. Setzen wir [mm]b_n:=1/a_n\,,[/mm] so ist jedes [mm]b_n > 0\,,[/mm] und
> es gilt
> [mm]\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty} (1/a_n)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^3+1}{n^5+n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^5}}{1+\frac{1}{n^3}}\blue{\;\text{=}\;}\frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}=\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}}{\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}}=\frac{0+0}{1+0}=0\,.[/mm]
>
> (Siehst Du, dass die Rechenregeln, die hier verwendet
> worden sind, alle angewendet werden dürfen? Überlege Dir
> mal nach dem ersten blauen Gleichheitszeichen, wieso jedes
> weitere Gleichheitszeichen gilt!)
>
Weil der Grenzwertsatz erfüllt ist, sprich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \in \IR [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} \in \IR [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matheandi,
> > P.P.S.
> > Anderes Beispiel: Wir wollen begründen, dass [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{n^5+n^2}{n^3+1}=\infty\,.[/mm]
> > Offenbar gilt, dass [mm]\frac{n^5+n^2}{n^3+1} > 0[/mm] für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> > ist. Setzen wir [mm]b_n:=1/a_n\,,[/mm] so ist jedes [mm]b_n > 0\,,[/mm] und
> > es gilt
> > [mm]\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty} (1/a_n)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^3+1}{n^5+n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^5}}{1+\frac{1}{n^3}}\blue{\;\text{=}\;}\frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^5}\right)}{\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}=\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}}{\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}}=\frac{0+0}{1+0}=0\,.[/mm]
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> >
> > (Siehst Du, dass die Rechenregeln, die hier verwendet
> > worden sind, alle angewendet werden dürfen? Überlege Dir
> > mal nach dem ersten blauen Gleichheitszeichen, wieso jedes
> > weitere Gleichheitszeichen gilt!)
> >
>
> Weil der Grenzwertsatz erfüllt ist, sprich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \in \IR[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} \in \IR[/mm] ?
das ist kein Grenzwertsatzes, sondern höchstens ein Teil eines Grenzwertsatzes - der hinreichende Bedingungen zur Anwendung eines Satzes ausdrückt.
Am besten liest man das ganze von rechts nach links (das macht die Begründung für das, was man vorher gerechnet hat, irgendwie klarer - denn nicht immer weiß man von vorneherein, ob man so, wie man rechnet, auch rechnen darf - das klärt sich evtl. erst am Ende):
[mm] $$0=\frac{0+0}{1+0}$$
[/mm]
kann man sicher schreiben. Daher sicher auch
[mm] $$0=\frac{0+0}{1+0}=\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}}{\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}}\,.$$
[/mm]
Und jetzt überlege Dir, wieso ich [mm] $\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}}{\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}}=\frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^5}\right)}{\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}$ [/mm] schreiben darf - ich verwende dort ein Rechengesetz für konvergente Folgen quasi zweimal (und dann wird Dir vielleicht auch klar, wie's weitergeht in der Argumentationskette)!
P.S.
Ich hatte irgendwo einen falschen Exponenten - eine 3 anstatt einer 5. Hoffe, dass ich das nun überall korrigiert habe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nocheinmal,
>
> die Lösung sagt mir, es gibt keinen Grenzwert für
> folgende Aufgabe (ich bekomme aber 0 heraus):
>
> [mm]a_{n}= -\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{2}(n^{14})}{n^{2}(n^{10}+2)}[/mm] =
> [mm]-\bruch{n^{14}}{n^{10}+2}[/mm] = [mm]-n^{14}[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^{10}+2}[/mm] =
> [mm]-n^{14}[/mm] * 0 = 0
>
> Wo liegt mein Fehler?
da gibt's drei Fehler: Am Ende bildest Du den Grenzwert, den Du vorher nirgends hinschreibst. Entweder ergänzt Du [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] an geeigneten Stellen, oder Du musst irgendwo $... [mm] \to [/mm] ...$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] schreiben.
Der zweite Fehler:
Selbst, wenn Du den ersten Fehler korrigierst, steht dann da eine Gleichung, wo einmal der eine Faktor mit [mm] $n\,$ [/mm] steht, der andere aber, nachdem $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen gelassen worden ist. Das passt nicht zusammen!
Der dritte Fehler (unter der Annahme, dass Du die beiden anderen korrigieren kannst!):
Den Grenzwertsatz [mm] $\lim_{n \to \infty}(a_n*b_n)=(\lim_{n \to \infty}a_n)*(\lim_{n \to \infty} b_n)$ [/mm] kannst Du nur dann anwenden, wenn [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n\in \IR$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty}b_n \in \IR$ [/mm] (bis auf gewisse Fälle, die ich jetzt aber nicht aufzählen will - das kannst Du nachlesen: Wenn die eine Folge durch eine Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] nach unten beschränkt ist und die andere gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt, dann ...). Aber [mm] $\infty \notin \IR\,.$ [/mm] Daher greift Dein Argument nicht. Man sagt (hier) auch: [mm] "$0*\infty$ [/mm] bleibt undefiniert". (Wenn Du Dich hier an dem [mm] $+\infty$ [/mm] störst - naja, dann rechne einfach bei Deiner Aufgabe alles mal Minus 1. Bei der so entstandenen Aufgabe existiert der Grenzwert genau dann, wenn er bei der Ausgangsaufgabe existiert!) Denn wie wollte man das auch definieren: Schließlich ist ja [mm] $0=\lim_{n \to \infty}\left(n*\frac{1}{n^2}\right)$ [/mm] oder [mm] $1=\lim_{n \to \infty}\left(n*\frac{1}{n}\right)$ [/mm] oder [mm] $\infty=\lim_{n \to \infty}\left(n^2*\frac{1}{n}\right)$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Di 26.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei solchen gebrochen rationalen Funktionen kannst du eigentlich fast immer die höchste Potenz ausklammern.
Also hier:
[mm]-\frac{n^{16}}{n^{14}+2n^{2}}[/mm]
[mm]=-\frac{n^{16}}{n^{14}\cdot\left(1+\frac{2}{n^{12}}\right)}[/mm]
[mm]=-\frac{n^{2}}{1+\frac{2}{n^{12}}}[/mm]
Das erleichtert die Grenzwertbetrachtung meist ungemein.
Marius
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