Grenzwert reinziehen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Matheraum,
Wann darf ich den Grenzwert NICHT reinziehen?
Natürlich, wenn nicht stetig, aber was ich meine ist:
Z.B. [mm] (1+1/n)^n\to e,n\to\infty
[/mm]
Gilt das immer, wenn der Exponent irgendwie von n abhängt?
was passiert bei [mm] (1+1/n)^{1/n} [/mm] für [mm] n\to\infty? [/mm]
Lg, Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass du ihn beim ersten nicht reinziehen darfst ist klar?
auch bei dem anderen gibt es keinen Grund
wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergieren dann kannst du lim [mm] a_n*b_n=lima_n*limb_n, [/mm] dasselbe für Summe, Differenz und Quotient, letztes nur mit [mm] b_n\not= [/mm] 0 und stetige Funktionen [mm] f(a_n)
[/mm]
andere Regeln gibt es nicht, du kannst es in manchen Fällen versuche, um auf eine Vermutung für den GW zu kommen mußt den dann aber auf andere Weise zeigen.
Gruß leduart.
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Danke dir für deine schnelle Antwort, aber ich verstehe das leider noch nicht..
Ja, mir ist klar, dass ich den Grenzwert bei
[mm] (1+1/n)^n [/mm] nicht reinziehen darf, sonst hätte ich als Grenzwert 1 raus..
Ist der Grund dafür, dass wir im Exponenten etwas haben, dass von n abhängt?
[mm] (1+1/n)^{1/n} [/mm] hat als Exponenten auch etwas mit n, sodass wir eigentlich den Grenzwert nicht reinziehen dürfen, richtig?
es ist mir klar, dass [mm] \sqrt[n]{a}\to1 [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gilt.
und auch, dass ich folgendes machen kann:
1<=1+1/n<=2 also [mm] \sqrt[n]{1}<=\sqrt[n]{1+1/n}<=\sqrt[n]{2} [/mm] also [mm] \sqrt[n]{1+1/n}=1, [/mm] denn Sandwichprinzip...
Es geht mir wirklich nur darum, ob es immer nur dann nicht geht, wenn der Exponent irgendwie von n abhängt..
Test für mich:
[mm] (1+1/n)^{n}=((1+1/n)^{1/n})^n
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+1/n)^{1/n})^n
[/mm]
Was darf ich nun hier reinziehen?
Danke dir!
LG, Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bjoern,
warten wir mal ab, was Abakus so noch dazu sagt. Aber weil Du ja auf meine
andere Antwort geschrieben hast, ein paar Worte auch hier schonmal von
mir:
> Danke dir für deine schnelle Antwort, aber ich verstehe
> das leider noch nicht..
>
> Ja, mir ist klar, dass ich den Grenzwert bei
>
> [mm](1+1/n)^n[/mm] nicht reinziehen darf, sonst hätte ich als
> Grenzwert 1 raus..
>
> Ist der Grund dafür, dass wir im Exponenten etwas haben,
> dass von n abhängt?
das kann man so nicht sagen - es wäre vielleicht mal sinnvoll, wenn Du
versuchen würdest, das etwas formaler zu formulieren. Normalerweise
ist es so, dass man dann schon selbst merkt, wo's hakt, oder dass man
eigentlich selbst die Frage nicht genau formulieren kann. Das hat meist
was mit "eigener Entwirrung" zu tun, wenn man diesen Vorgang betreibt...
> [mm](1+1/n)^{1/n}[/mm] hat als Exponenten auch etwas mit n, sodass
> wir eigentlich den Grenzwert nicht reinziehen dürfen,
> richtig?
Ich habe dazu zwei Vorschläge gemacht, was Du meinen könntest. Ich weiß
nicht, wie Du da "den Limes reinziehen können willst". Du kannst das [mm] $n\,$
[/mm]
nicht unabhängig von [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] laufend machen...
> es ist mir klar, dass [mm]\sqrt[n]{a}\to1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> gilt.
>
> und auch, dass ich folgendes machen kann:
>
> 1<=1+1/n<=2 also [mm]\sqrt[n]{1}<=\sqrt[n]{1+1/n}<=\sqrt[n]{2}[/mm]
> also [mm]\sqrt[n]{1+1/n}=1,[/mm] denn Sandwichprinzip...
>
> Es geht mir wirklich nur darum, ob es immer nur dann nicht
> geht, wenn der Exponent irgendwie von n abhängt..
Wie gesagt: Formalisiere die Frage mal!
> Test für mich:
>
> [mm](1+1/n)^{n}=((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
>
> Was darf ich nun hier reinziehen?
Was willst Du da (formal) "reinziehen"? Wie soll das dann aussehen? Und wie
sähe das analog bei
[mm] $e=\lim_{n \to \infty} \left((1+1/n)^{1/n}\right)^{n^2}$
[/mm]
aus? Bekämst Du dann doch [mm] $e=1\,$ [/mm] raus?
Generell kann ich nur sagen: Es gibt Rechengesetze für konvergente Folgen.
Dabei stehen Voraussetzungen dabei, die es zu prüfen gilt. Wenn die nicht
gegeben sind, sollte man (logischerweise) nicht (ohne Weiteres) einfach
derartiges anwenden...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
[mm] \lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n=(\lim_{n \to \infty} (1+1/n))^n
[/mm]
Das ist falsch.
Genauso wie das hier falsch ist [mm] \lim_{n \to \infty} (1+1/n)^{1/n}=(\lim_{n \to \infty} (1+1/n))^{1/n}
[/mm]
>
> > Test für mich:
> >
> > [mm](1+1/n)^{n}=((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
>
>
Ja, das war ein Tippfehler, tut mir leid, ich meine:
[mm] (1+1/n)=((1+1/n)^{1/n})^n
[/mm]
>
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
> >
> > Was darf ich nun hier reinziehen?
>
> Was willst Du da (formal) "reinziehen"? Wie soll das dann
> aussehen? Und wie
> sähe das analog bei
>
> [mm]e=\lim_{n \to \infty} \left((1+1/n)^{1/n}\right)^{n^2}[/mm]
>
> aus? Bekämst Du dann doch [mm]e=1\,[/mm] raus?
Genau das ist mein Problem. Hier wüsste ich es nämlich nicht ohne zu kürzen...
Übrigens noch eine kurze Frage:
Wieso gilt denn
[mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n=\limes_{n\rightarrow0}(1+n)^{1/n}
[/mm]
???
Das verstehe ich nicht..
Danke dir!
>
> Gruß,
> Marcel
Gruß
Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bjoern,
> Hallo Marcel,
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n=(\lim_{n \to \infty} (1+1/n))^\red{n}[/mm]
>
> Das ist falsch.
natürlich, es ist aber vor allem logisch sinnfrei: Sobald Du [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm]
schreibst, läuft doch [mm] $n\,$ [/mm] dabei gegen [mm] $\infty$ [/mm] (formal) - Du kannst das rote
[mm] $n\,$ [/mm] nicht davon "befreien" - anders gesagt:
Du kannst nicht, wenn [mm] $n\,$ [/mm] "ein gewisses Verhalten haben soll", dann sagen,
dass das gleiche [mm] $n\,$ [/mm] dieses einmal behalten soll und ein anderes Mal
davon befreit werden kann - Du kannst es nicht "klonen"...!
> Genauso wie das hier falsch ist [mm]\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^{1/n}=(\lim_{n \to \infty} (1+1/n))^{1/n}[/mm]
Siehe oben. Ich sag's mal so: Das, was Du machen willst, wäre so, wie wenn
man sagen würde:
Sind [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(b_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] bzw. [mm] $b\,$ [/mm] konvergente Folgen, dann
[mm] $\underbrace{\lim_{n \to \infty} (a_n b_n)=b_\red{n}*(\lim_{\red{n} \to \infty} a_\red{n})}_{\text{diese Gleichheit ist natürlich UNSINN!!}}$
[/mm]
Die rechte Seite ist doch (schon formal) ziemlich "sinnfrei"...
> >
> > > Test für mich:
> > >
> > > [mm](1+1/n)^{n}=((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
> >
> >
>
> Ja, das war ein Tippfehler, tut mir leid, ich meine:
>
> [mm](1+1/n)=((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
> > >
> > > Was darf ich nun hier reinziehen?
> >
> > Was willst Du da (formal) "reinziehen"? Wie soll das dann
> > aussehen? Und wie
> > sähe das analog bei
> >
> > [mm]e=\lim_{n \to \infty} \left((1+1/n)^{1/n}\right)^{n^2}[/mm]
> >
>
> > aus? Bekämst Du dann doch [mm]e=1\,[/mm] raus?
>
> Genau das ist mein Problem. Hier wüsste ich es nämlich
> nicht ohne zu kürzen...
>
> Übrigens noch eine kurze Frage:
>
> Wieso gilt denn
>
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n=\limes_{n\rightarrow0}(1+n)^{1/n}[/mm]
Das würdest Du (rein didaktisch) besser schreiben als
[mm] $e=\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n=\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x}\,.$
[/mm]
Vermutlich fragst Du Dich, wieso die rechte Gleichheit gilt: Das kann man
sich wieder durch Betrachten der Folge [mm] ${((1+1/n)^n)}_n$ [/mm] herleiten (und ein
paar Zusatzüberlegungen sollte man auch anstellen). Betrachten wir erstmal
[mm] $\lim_{0 < x \to 0} (1+x)^{1/x}\,.$ [/mm] (Rechtsseitiger Grenzwert!)
Wenn o.E. $0 < x [mm] \le 1\,,$ [/mm] so gibt es (genau) ein $n=n(x) [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] mit
[mm] ($\star$) $\frac{1}{n+1} \le [/mm] x [mm] \le \frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Wieso? Naja, setze [mm] $n:=\lfloor [/mm] 1/x [mm] \rfloor\,.$ [/mm] Wegen $1/x [mm] \ge [/mm] 1$ ist $n [mm] \in \IN.$ [/mm] Ferner
gilt bekanntlich
[mm] $\lfloor [/mm] r [mm] \rfloor \le [/mm] r < [mm] \lfloor [/mm] r [mm] \rfloor [/mm] +1$ für alle $r [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
also, wenn zudem $r [mm] \ge 1\,$ [/mm] ist
[mm] $\frac{1}{\lfloor r \rfloor +1} [/mm] < [mm] \frac{1}{r} \le \frac{1}{\lfloor r \rfloor}\,,$
[/mm]
insbesondere
[mm] $\frac{1}{\lfloor r \rfloor +1} \le \frac{1}{r} \le \frac{1}{\lfloor r \rfloor}\,.$
[/mm]
(Falls Dir dieses Wissen über die Gaußklammer fehlt, so können wir es auch
gerne hier erarbeiten!)
Also ist mit [mm] $n:=\lfloor [/mm] 1/x [mm] \rfloor$ [/mm] ein solches $n [mm] \in \IN$ [/mm] gefunden. Den Beweis der Eindeutigkeit
erspare ich mir. (Man braucht sie auch nicht wirklich weiter bei den
Überlegungen unten - soweit ich das gerade sehe...!)
Jetzt betrachten wir auch mal die Funktion
[mm] $g(t):=(1+t)^{1/t}\,$
[/mm]
für $t [mm] \in (-1,\infty) \setminus \{0\}.$ [/mm] (Also $0 [mm] \not=t [/mm] > [mm] -1\,.$)
[/mm]
Diese Funktion ist (streng) monoton fallend. (Wieso?) Mit [mm] ($\star$) [/mm] folgt für $0 < x < [mm] 1\,$
[/mm]
[mm] $g(\tfrac{1}{\lfloor 1/x \rfloor +1}) \;\ge\;g(x)\;\ge\;g(\tfrac{1}{\lfloor 1/x \rfloor})$
[/mm]
wobei [mm] $n=\lfloor [/mm] 1/x [mm] \rfloor$ [/mm] war, also
[mm] $(1+\tfrac{1}{n+1})^{n+1}\;\ge\;(1+x)^{1/x}\;\ge\;(1+\tfrac{1}{n})^n\,.$
[/mm]
Jetzt solltest Du Dir klarmachen, wieso mit
[mm] $n=n(x):=\lfloor [/mm] 1/x [mm] \rfloor$
[/mm]
dann gilt:
$0 < x [mm] \le [/mm] 1$ und $x [mm] \to [/mm] 0$ impliziert [mm] $\IN \ni [/mm] n(x) [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
(Dann beachte auch: Ist [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a\,,$ [/mm] so konvergiert
auch jede Teilfolge [mm] ${(a_{n_k})}_k$ [/mm] von [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$)
[/mm]
Jetzt müsstest Du Dir halt noch Gedanken machen, wieso auch
[mm] $\lim_{-1 < t < 0 \text{ und }t \to 0}g(t)=e$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Vielen DANK für deine Hilfe.
Dein Beweis war sehr ausführlich und hat mir sehr geholfen!
Falls du dich fragst, wie ich auf diese Thematik komme:
In einem Beweis kommt so etwas sehr ähnliches vor und ich habe den Beweis nicht verstanden.
Ich bin nämlich davon ausgegangen, dass der Professor den Grenzwert reinziehen darf.
Wahrscheinlich ist das aber doch ganz anders..
Falls dich das mehr interessiert, dann guck in meinem anderen Thread mal nach 
https://vorhilfe.de/read?t=1003522
Nochmal vielen DANK!
LG, Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 15.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Danke dir für deine schnelle Antwort, aber ich verstehe
> das leider noch nicht..
>
> Ja, mir ist klar, dass ich den Grenzwert bei
>
> [mm](1+1/n)^n[/mm] nicht reinziehen darf, sonst hätte ich als
> Grenzwert 1 raus..
Hallo,
das Problem sind doch hier zwei gegenläufige Tendenzen: (1+1/n) wird mit wachsendem n immer kleiner. Dafür wird durch die Potenz "hoch n" die Anzahl der Faktoren (die größer als 1 sind) immer größer. Somit ist von vornherein nicht klar, ob eine dieser Tendenzen die andere dominiert oder ob sich eine Art Gleichgewicht einstellt.
Dieses Problem hast du bei [mm](1+1/n)^{1/n}[/mm] nicht.
Der Term [mm](1+1/n)[/mm] strebt für wachsende n gegen 1, und der Exponent strebt gegen Null (und irgendeine von Null verschiedene Zahl hoch Null ist 1).
Das sind gleich doppelte Gründe, warum der Term gegen Eins gehen muss.
Exakt kann man das in Form einer Abschätzung zeigen.
Sei a eine feste Zahl >1.
Dann gibt es ein n, ab dem [mm]1<(1+1/n)
Ab diesem n gilt dann auch [mm]1<(1+1/n)^\frac{1}{n}
Was passiert mit [mm]a^{\frac1n}[/mm], wenn n gegen unendlich geht?
Gruß Abakus
>
> Ist der Grund dafür, dass wir im Exponenten etwas haben,
> dass von n abhängt?
>
> [mm](1+1/n)^{1/n}[/mm] hat als Exponenten auch etwas mit n, sodass
> wir eigentlich den Grenzwert nicht reinziehen dürfen,
> richtig?
>
> es ist mir klar, dass [mm]\sqrt[n]{a}\to1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> gilt.
>
> und auch, dass ich folgendes machen kann:
>
> 1<=1+1/n<=2 also [mm]\sqrt[n]{1}<=\sqrt[n]{1+1/n}<=\sqrt[n]{2}[/mm]
> also [mm]\sqrt[n]{1+1/n}=1,[/mm] denn Sandwichprinzip...
>
> Es geht mir wirklich nur darum, ob es immer nur dann nicht
> geht, wenn der Exponent irgendwie von n abhängt..
>
> Test für mich:
>
> [mm](1+1/n)^{n}=((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+1/n)^{1/n})^n[/mm]
>
> Was darf ich nun hier reinziehen?
>
> Danke dir!
>
> LG, Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Bjoern,
> Hallo Matheraum,
>
> Wann darf ich den Grenzwert NICHT reinziehen?
> Natürlich, wenn nicht stetig, aber was ich meine ist:
>
> Z.B. [mm](1+1/n)^n\to e,n\to\infty[/mm]
>
> Gilt das immer, wenn der Exponent irgendwie von n
> abhängt?
na, mal rein logisch: Was willst Du denn hier machen?
[mm] $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n=(\lim_{n \to \infty} (1+1/n))^n$
[/mm]
macht keinen Sinn - schau mal genau hin!
[mm] $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n=\lim_{n \to \infty}(\lim_{m \to \infty}(1+1/m))^n$
[/mm]
ist schlichtweg falsch... Warum ist eigentlich $e [mm] \not=1$ [/mm] (wenn man etwa [mm] $e:=\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$
[/mm]
definiert - bzw. warum ist der Grenzwert rechterhand eigentlich definiert)?
> was passiert bei [mm](1+1/n)^{1/n}[/mm] für [mm]n\to\infty?[/mm]
Man kann mit dem Einschließungskriterium und dem Wissen
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}=1$ [/mm] (für alle $a > [mm] 0\,$)
[/mm]
nachweisen, dass
[mm] $(1+1/n)^{1/n} \to 1\,.$
[/mm]
Kennst Du den Beweis für [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}=1$ [/mm] (für $a > [mm] 0\,$ [/mm] fest)?
Falls nicht: Es reicht (zunächst), erstmal den Fall $a [mm] \ge [/mm] 1$ zu betrachten...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel und danke für deine Antwort!
Ich würde dich bitten meine andere Frage zu lesen,
da ihr mich beide, so glaube ich, falsch verstanden habt.
Danke dir!
Lg, Björn
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