Grenzwert rekursiver Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Sa 13.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0$
[mm]a_{n+1}=\wurzel{2a_n -3}+6[/mm]
[mm]a_0= 2[/mm] |
Hallo,
der Grenzwert a läßt sich leicht errechnen:
[mm]a=\wurzel{2a-3}+6[/mm]
[mm]\gdw a_1 = 7 + \wurzel{10} \wedge a_2=7-\wurzel{10}[/mm]
Durch probieren, läßt sich leicht herausfinden, dass [mm] $a_1$ [/mm] der richtige Grenzwert ist. Aber wie kann man das beweisen, sollte es z.B. mal nicht so leicht zu sehen sein?
Danke und Grüße,
Barney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Barney!
Deine Methode mit $a \ = \ [mm] \wurzel{2*a-3}+6$ [/mm] und nach $a \ = \ ...$ umstellen ist nur dann zulässig, wenn [mm] $a_n$ [/mm] auch wirklich konvergiert.
Du musst also zeigen, dass [mm] $a_n$ [/mm] konvergent ist. Beweis hier, dass [mm] $a_n$ [/mm] sowoehl monoton als auch beschränkt ist (z.B. mittels Induktion).
Aus der Monotonie und der Beschränktheit folgt unmittelbar die Konvergenz.
Und aus der Beschränktheit ergibt sich dann auch, welcher der beiden Werte [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] der Grenzwert sein muss.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 13.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
Hallo Loddar,
danke für die Antwort. Also habe ich die Reihenfolge verdreht.
Setzen wir mal Monotonie voraus.
Beweis Beschränktheit:
[mm]a_n < 14[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Induktionsanfang:
$a_0 = 2 < 14$
Induktionsvoraussetzung:
$a_n<14$
Beweis:
$a_{n+1}<\wurzel{2*14-3}+6}=11<14$ qed.
Dann berechne ich den Grenzwert und da ich für $a_n<7-\wurzel{10}$ zu einem Wiederspruch komme, muss es $7+\wurzel{10}$ sein.
So in etwa richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loddar,
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> danke für die Antwort. Also habe ich die Reihenfolge
> verdreht.
> Setzen wir mal Monotonie voraus.
> Beweis Beschränktheit:
> [mm]a_n < 14[/mm]
> Induktionsanfang:
> [mm]a_0 = 2 < 14[/mm]
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]a_n<14[/mm]
> Beweis:
> [mm]a_{n+1}<\wurzel{2*14-3}+6}=11<14[/mm] qed.
>
> Dann berechne ich den Grenzwert und da ich für
> [mm]a_n<7-\wurzel{10}[/mm] zu einem Wiederspruch komme, muss es
> [mm]7+\wurzel{10}[/mm] sein.
>
> So in etwa richtig?
Ja
FRED
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