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Grenzwert rekursiver Folgen: 2 Lösungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Sa 13.11.2010
Autor: BarneyS

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0$

[mm]a_{n+1}=\wurzel{2a_n -3}+6[/mm]
[mm]a_0= 2[/mm]

Hallo,
der Grenzwert a läßt sich leicht errechnen:

[mm]a=\wurzel{2a-3}+6[/mm]
[mm]\gdw a_1 = 7 + \wurzel{10} \wedge a_2=7-\wurzel{10}[/mm]

Durch probieren, läßt sich leicht herausfinden, dass [mm] $a_1$ [/mm] der richtige Grenzwert ist. Aber wie kann man das beweisen, sollte es z.B. mal nicht so leicht zu sehen sein?

Danke und Grüße,
Barney

        
Bezug
Grenzwert rekursiver Folgen: Konvergenz zeigen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Sa 13.11.2010
Autor: Loddar

Hallo Barney!


Deine Methode mit $a \ = \ [mm] \wurzel{2*a-3}+6$ [/mm] und nach $a \ = \ ...$ umstellen ist nur dann zulässig, wenn [mm] $a_n$ [/mm] auch wirklich konvergiert.

Du musst also zeigen, dass [mm] $a_n$ [/mm] konvergent ist. Beweis hier, dass [mm] $a_n$ [/mm] sowoehl monoton als auch beschränkt ist (z.B. mittels Induktion).

Aus der Monotonie und der Beschränktheit folgt unmittelbar die Konvergenz.
Und aus der Beschränktheit ergibt sich dann auch, welcher der beiden Werte [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] der Grenzwert sein muss.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert rekursiver Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Sa 13.11.2010
Autor: BarneyS

Hallo Loddar,

danke für die Antwort. Also habe ich die Reihenfolge verdreht.
Setzen wir mal Monotonie voraus.
Beweis Beschränktheit:
[mm]a_n < 14[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


Induktionsanfang:
$a_0 = 2 < 14$
Induktionsvoraussetzung:
$a_n<14$
Beweis:
$a_{n+1}<\wurzel{2*14-3}+6}=11<14$ qed.

Dann berechne ich den Grenzwert und da ich für $a_n<7-\wurzel{10}$ zu einem Wiederspruch komme, muss es $7+\wurzel{10}$ sein.

So in etwa richtig?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert rekursiver Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Sa 13.11.2010
Autor: fred97


> Hallo Loddar,
>  
> danke für die Antwort. Also habe ich die Reihenfolge
> verdreht.
>  Setzen wir mal Monotonie voraus.
>  Beweis Beschränktheit:
>  [mm]a_n < 14[/mm]
>  Induktionsanfang:
>  [mm]a_0 = 2 < 14[/mm]
>  Induktionsvoraussetzung:
>  [mm]a_n<14[/mm]
>  Beweis:
>  [mm]a_{n+1}<\wurzel{2*14-3}+6}=11<14[/mm] qed.
>  
> Dann berechne ich den Grenzwert und da ich für
> [mm]a_n<7-\wurzel{10}[/mm] zu einem Wiederspruch komme, muss es
> [mm]7+\wurzel{10}[/mm] sein.
>  
> So in etwa richtig?

Ja

FRED

>  


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