Grenzwert und Divergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Do 01.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo.
Ich habe zwei Folgen:
[mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch {n^{n}-n}{e^{n}-n^{e}}
[/mm]
also bei der ersten Folge weiß ich, dass sie konvergiert und sie hat Ähnlichkeiten mit der Folge [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}=e
[/mm]
Dieses hat mich auf die Idee gebracht, die Funktion dann etwas um zu schreiben als [mm] (1+\bruch{1}{n})^{\wurzel{n}}=(1+\bruch{1}{n})^{\bruch {n}{\wurzel{n}}}=((1+\bruch{1}{n})^{n})^\bruch{1]}{{\wurzel{n}}}=(e)^\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] und dann weiß ich nicht weiter, kommt dann e raus oder wie behandle ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}?
[/mm]
nun zur zweiten Folge. sollte ich bei dieser Folge [mm] n^{n} [/mm] am besten ausklammern oder gibt es andere Möglichkeiten die Divergenz dieser Folge zu beweisen?
[mm] \bruch {n^{n}-n}{e^{n}-n^{e}}=\bruch {n^{n}*(1-\bruch{1}{n^{n-1}})}{n^{n}*(\bruch{e^{n}}{n^{n}}-\bruch{1}{n^{n-e}})} [/mm] = [mm] \bruch {1-\bruch{1}{n^{n-1}}}{\bruch{e^{n}}{n^{n}}-\bruch{1}{n^{n-e}}}=\bruch{1}{0}=\infty [/mm] ?
geht das so?
mfg
Kiwibox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 01.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] a_n:
[/mm]
Es gilt: [mm] $a_n^{\wurzel{n}}= (1+1/n)^n \to [/mm] e$
Damit gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] $2\le a_n^{\wurzel{n}} \le [/mm] 3$ für n> N
Kannst Du nun zeigen, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen 1 konvergiert ?
Zu [mm] b_n:
[/mm]
Zeige: [mm] $b_n \ge \bruch{n^n}{e^n}$ [/mm] für n hinreichend groß.
Damit ist [mm] (b_n) [/mm] unbeschränkt, somit divergent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 01.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Zu [mm]a_n:[/mm]
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> Es gilt: [mm]a_n^{\wurzel{n}}= (1+1/n)^n \to e[/mm]
>
> Damit gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: [mm]2\le a_n^{\wurzel{n}} \le 3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> für n> N
>
>
Das ist mir noch klar, weil e zwischen 2 und 3 liegt. Aber wie soll ich das zeigen, dass a_n^{\wurzel{n}) gegen 1 konvergiert?
>
> Kannst Du nun zeigen, dass [mm](a_n)[/mm] gegen 1 konvergiert ?
>
> Zu [mm]b_n:[/mm]
>
> Zeige: [mm]b_n \ge \bruch{n^n}{e^n}[/mm] für n hinreichend groß.
>
Wie soll ich das genau zeigen? Ich habe da keinen Plan...e sehe ich als feste Zahl und n wächst, e bleibt konstant...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 01.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Zu [mm]a_n:[/mm]
> >
> > Es gilt: [mm]a_n^{\wurzel{n}}= (1+1/n)^n \to e[/mm]
> >
> > Damit gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: [mm]2\le a_n^{\wurzel{n}} \le 3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> > für n> N
> >
> >
> Das ist mir noch klar, weil e zwischen 2 und 3 liegt. Aber
> wie soll ich das zeigen, dass a_n^{\wurzel{n}) gegen 1
> konvergiert?
Das habe ich nicht gesagt !
>
> >
Das habe ich gesagt:
> > Kannst Du nun zeigen, dass [mm](a_n)[/mm] gegen 1 konvergiert ?
Wir haben: [mm] 2\le a_n^{\wurzel{n}} \le [/mm] 3 für n > N
Dann: [mm] $2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}\le a_n \le 3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}$ [/mm] für n > N
Klingelts ?
> >
> > Zu [mm]b_n:[/mm]
> >
> > Zeige: [mm]b_n \ge \bruch{n^n}{e^n}[/mm] für n hinreichend groß.
> >
> Wie soll ich das genau zeigen?
Zauberwort: Äquivalenzumformungen
FRED
Ich habe da keinen Plan...e
> sehe ich als feste Zahl und n wächst, e bleibt
> konstant...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 01.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Das habe ich gesagt:
> > > Kannst Du nun zeigen, dass $ [mm] (a_n) [/mm] $ gegen 1 konvergiert ?
Nein. Ich kann es noch immer nicht zeigen. Stehe total auf dem Schlauch. Ich probiere...
> Wir haben: [mm]2\le a_n^{\wurzel{n}} \le[/mm] 3 für n > N
> Dann: [mm]2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}\le a_n \le 3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm]
> für n > N
>
Okay, das ist noch einleuchtet. Und durch die Monotonie des Grenzwertes, weil [mm] a_{n}^{\wurzel{n}} [/mm] eine Folge zwischen 2 und 3 ist, [mm] 2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} \le a_{n} \le 3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} [/mm] durch umformen gilt und [mm] 2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} \to [/mm] 1 und [mm] 3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} \to [/mm] 1 muss strebt [mm] a_{n} [/mm] auch gegen 1?
richtig?
> > > Zu [mm]b_n:[/mm]
> Zauberwort: Äquivalenzumformungen
 danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 01.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Das habe ich gesagt:
> > > > Kannst Du nun zeigen, dass [mm](a_n)[/mm] gegen 1 konvergiert
> ?
>
>
> Nein. Ich kann es noch immer nicht zeigen. Stehe total auf
> dem Schlauch. Ich probiere...
>
>
> > Wir haben: [mm]2\le a_n^{\wurzel{n}} \le[/mm] 3 für n > N
>
> > Dann: [mm]2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}\le a_n \le 3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm]
> > für n > N
> >
> Okay, das ist noch einleuchtet. Und durch die Monotonie des
> Grenzwertes, weil [mm]a_{n}^{\wurzel{n}}[/mm] eine Folge zwischen 2
> und 3 ist, [mm]2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} \le a_{n} \le 3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm]
> durch umformen gilt und [mm]2^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} \to[/mm] 1
> und [mm]3^{\bruch{1}{\wurzel{n}}} \to[/mm] 1 muss strebt [mm]a_{n}[/mm] auch
> gegen 1?
> richtig?
Ja
>
>
> > > > Zu [mm]b_n:[/mm]
> > Zauberwort: Äquivalenzumformungen
>
> danke
Bitte
FRED
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