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| Aufgabe | f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] sei reellwertige monoton wachsende Funktion auf dem Intervall [a,b], a < b.
i) Zu zeigen: Für jedes [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) existiert ein linksseitiger Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_{0}^{+}} [/mm] f(x) und ein rechtsseitiger Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_{0}^{-}} [/mm] f(x).
ii) Zu zeigen: Es gibt wenigstens ein [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) mit: f stetig in [mm] x_{0}.
[/mm]
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Hallo miteinander,
dies ist die letzte Aufgabe auf meinem Übungszettel diese Woche, und ich komme da nicht ganz weiter. 
Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Bei der i) dachte ich, dass ich mir vielleicht eine allgemeine Folge [mm] a_{n}=x_{o} \pm1/n [/mm] erstelle oder so etwas in der Art, aber sicher bin ich mir da auch nicht. Und bei der ii) weiß ich gerade gar nicht, wie ich das zeigen soll.
Die Begriffe in der Aufgabe und deren Definition habe ich aber alle verstanden, es hapert bei mir eher an der Umsetzung.
Viele Grüße,
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] sei reellwertige monoton wachsende
> Funktion auf dem Intervall [a,b], a < b.
>
> i) Zu zeigen: Für jedes [mm]x_{0} \in[/mm] (a,b) existiert ein
> linksseitiger Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\(x_{0}^{+}}[/mm]
> f(x) und ein rechtsseitiger Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(x_{0}^{-}}[/mm] f(x).
>
> ii) Zu zeigen: Es gibt wenigstens ein [mm]x_{0} \in[/mm] (a,b) mit:
> f stetig in [mm]x_{0}.[/mm]
>
> Hallo miteinander,
>
> dies ist die letzte Aufgabe auf meinem Übungszettel diese
> Woche, und ich komme da nicht ganz weiter.
>
> Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Bei der i) dachte ich, dass ich mir vielleicht eine
> allgemeine Folge [mm]a_{n}=x_{o} \pm1/n[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
erstelle oder so etwas
> in der Art, aber sicher bin ich mir da auch nicht.
also generell ist das verwertbar, aber es hilft Dir nur teilweise beim Beweis. Du musst ja zeigen (beim $\lim_{x \to x_0^-}f(x)$):
Ist $x_0 \in (a,b)$, so gilt für jede Folge $(x_n)_n$ mit $x_n \to x_0^{-}$ (d.h. $x_n \in (a,b)$ mit $x_n < x_0$ (für alle $n \in \IN$) und $x_n \to x_0$), dass die Folge $(f(x_n))_n$ konvergiert.
Aber Deine Idee läßt sich da schon einbauen:
Zu $\lim_{x \to x_0^-}f(x)$:
Sei $x_0 \in (a,b)$ beliebig, aber fest. Nun betrachtest Du zunächst die Folge $\left(x_0-\frac{1}{n+N}\right)_{n \in \IN}\equiv:\left(\tilde{x}_n)_{n \in \IN}$, wobei $N \in \IN$ so groß ist, dass $x_0-\frac{1}{N} \in (a,x_0)$ ist.
Zeige zunächst:
Dann ist $\left(f(\tilde{x}_n)\right)_{n \in \IN}$ monoton wachsend und nach oben beschränkt (benutze dazu die vorausgesetzte Monotonie von $\,f\,$, welche insbesondere liefert, dass $f(x_0)$ eine obere Schranke für $\left(f(\tilde{x}_n)\right)_{n \in \IN}$ ist.)
Jetzt weißt Du, dass $\lim_{n \to \infty}f(\tilde{x}_n)$ existiert. Jetzt behaupte:
$$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{n \to \infty}f(\tilde{x}_n)\,.$$
D.h., nun ist zu zeigen:
Ist $\left(x_n\right)_{n \in \IN}$ irgendeine Folge in $(a,b)$ mit den Eigenschaften, dass $x_n < x_0$ für alle $n \in \IN$ gilt und dass zudem $x_n \to x_0$ gilt, so folgt auch
$$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{n \to \infty}f(\tilde{x}_n)\,.$$
> Und bei
> der ii) weiß ich gerade gar nicht, wie ich das zeigen
> soll.
Dazu schau' z.B. mal in ![[]](/images/popup.gif) Satz 12.16:
Eine monotone Funktion $f: (a,b) [mm] \to \IR$ [/mm] hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen (und diese sind 1. Art).
Die Anwendung dieses Satzes bei Dir:
Bei Dir ist [mm] $D_f=[a,b]$. [/mm] Nun betrachte [mm] $f_{|(a,b)}$ [/mm] (die Einschränkung von $f$ auf $(a,b)$). Diese Einschränkung hat natürlich das gleiche Monotonieverhalten wie $f$ (welche ja auf $[a,b]$ definiert war!). Hätte [mm] $f_{|(a,b)}$ [/mm] keine Stetigkeitsstellen, so wären alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ Unstetigkeitsstellen. Nach Satz 12.16 wäre dann $(a,b)$ abzählbar. Ist denn $(a,b)$ (für $a < b$) abzählbar?
Gruß,
Marcel
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Hey, vielen Dank für deine Antwort.
zu i): Bis zu dem "D.h., nun ist zu zeigen: ..." konnte ich alles soweit nachvollziehen. Aber das folgende verstehe ich nicht so ganz. Wie lässt sich das zeigen - für jede beliebige Folge mit den von dir genannten Eigenschaften?
zu ii) Das hat mir sehr viel weitergeholfen, vielen Dank. :) Nur den Beweis des Satzes in dem Skript habe ich nicht nachvollziehen können, könntest du mir den evtl. noch einmal in eigenen Worten erklären? Denn mein HiWi wird sicher auch verlangen, dass wir einen solchen Satz beweisen.
Viele Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:22 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, vielen Dank für deine Antwort.
>
> zu i): Bis zu dem "D.h., nun ist zu zeigen: ..." konnte ich
> alles soweit nachvollziehen. Aber das folgende verstehe ich
> nicht so ganz. Wie lässt sich das zeigen - für jede
> beliebige Folge mit den von dir genannten Eigenschaften?
Dir ist aber klar, wie die Idee der Vorgehensweise ist?! Mit einer speziellen Folge erhält man quasi erstmal den Wert, von dem wir behaupten (können), dass, wenn der Grenzwert von $f(x)$ bei $x [mm] \to x_0^-$ [/mm] existiert, dieser gerade mit diesem Grenzwert der speziellen Folge übereinstimmt.
Jetzt ist zu zeigen, dass das auch wirklich der Fall ist:
Nehmen wir irgend [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ her, so finden wir ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$\lim_{m \to \infty} f(\tilde{x}_m)-\varepsilon [/mm] < [mm] f(\tilde{x}_n) \le \lim_{m \to \infty} f(\tilde{x}_m)\, \text [/mm] { (warum?)}$$
insbesondere gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty} f(\tilde{x}_n)-\varepsilon [/mm] < [mm] f(\tilde{x}_N) \le \lim_{n \to \infty} f(\tilde{x}_n)\,.$$
[/mm]
Ist nun $ [mm] \left(x_n\right)_{n \in \IN} [/mm] $ (irgend-) eine Folge in $ (a,b) $ mit den Eigenschaften, dass $ [mm] x_n [/mm] < [mm] x_0 [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $ und dass zudem $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $ gilt, so überlege Dir folgendes:
Es gibt ein $M$ so, dass [mm] $(x_0 >)\;\;x_n [/mm] > [mm] \tilde{x}_N$ [/mm] für alle $n [mm] \ge M\,.$ [/mm]
Die Monotonie von $f$ bringt dann
[mm] $$f(\tilde{x}_N) [/mm] < [mm] f(x_n)\;\;\;\;\;(n \ge M)\,.$$
[/mm]
Das liefert Dir [mm] $f(x_n) [/mm] > [mm] \lim_{m \to \infty} f(\tilde{x}_m)-\varepsilon \;\;\;\;\;(n \ge M)\,.$ [/mm] Und ich behaupte nun, dass es auch leicht ist, sich klarzumachen, dass [mm] $f(x_n) \le \lim_{m \to \infty} f(\tilde{x}_m)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] M$ (eigentlich sogar für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm] gilt. Das kannst Du so machen, indem Du Dir klar machst, dass [mm] $\underbrace{\left(x_n,\;\lim_{m \to \infty} f(\tilde{x}_m)\right)}_{offenes\;\;Intervall!} \cap \{\tilde{x}_p:\;p \in \IN\}$ [/mm] für kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] leer sein kann und dann die Monotonie von $f$ wieder benutzt.
> zu ii) Das hat mir sehr viel weitergeholfen, vielen Dank.
> :) Nur den Beweis des Satzes in dem Skript habe ich nicht
> nachvollziehen können, könntest du mir den evtl. noch
> einmal in eigenen Worten erklären? Denn mein HiWi wird
> sicher auch verlangen, dass wir einen solchen Satz
> beweisen.
Ich lasse es mal offen, im Laufe des Tages vll., wenn ich noch dazu komme...
Gruß,
Marcel
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