Grenzwert und Supremum ? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Sry, dass ich mehrere Themen diesbezüglich stelle.
Mein Übungsleiter hat folgendes gemacht:
M:= { [mm] \bruch{1+2n^{2}}{1+n^{2}} [/mm] | n [mm] \in \IN \cup [/mm] {0} }
Nach etwas Umformen (was mir auch klar ist), kam er dann auf
2- [mm] \bruch{1}{1+n^{2}}
[/mm]
Das Supremum ist ja 2. Das dies eine obere Schranke ist, könnte ich auch noch zeigen. Aber um zu zeigen, dass es die KLEINSTE obere Schranke ist, versteh ich nicht ganz. Mein Übungsleiter hat den Limes der "neuen" Funktion gebildet und der geht gegen 2 und damit HABE er bewiesen, dass es die kleinste obere Schranke ist. Geht das IMMER???
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> Hallo.
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> Sry, dass ich mehrere Themen diesbezüglich stelle.
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> Mein Übungsleiter hat folgendes gemacht:
>
> M:= [mm] \{\bruch{1+2n^{2}}{1+n^{2}} | n \in \IN \cup {0} \}
[/mm]
>
> Nach etwas Umformen (was mir auch klar ist), kam er dann
> auf
>
> 2- [mm]\bruch{1}{1+n^{2}}[/mm]
>
> Das Supremum ist ja 2. Das dies eine obere Schranke ist,
> könnte ich auch noch zeigen. Aber um zu zeigen, dass es
> die KLEINSTE obere Schranke ist, versteh ich nicht ganz.
> Mein Übungsleiter hat den Limes der "neuen" Funktion
> gebildet und der geht gegen 2 und damit HABE er bewiesen,
> dass es die kleinste obere Schranke ist. Geht das IMMER???
Aufgrund der Definitionen des Grenzwerts und Supremums ja.
Also nehmen wir mal die Situation an, dass du eine obere Schranke gefunden hast (hier die 2) und jetzt gibt es in deiner Menge eine Folge, die dagegen monoton konvergiert (hier besteht deine Menge ja quasi nur aus den Gliedern einer solchen Folge).
Nehmen wir nun an, das wäre nicht das Supremum. Dann müsste es ja noch eine Zahl geben, die kleiner ist als die 2, z.B. [mm] 2-\varepsilon, [/mm] so dass alle Folgeglieder kleiner sind als diese Zahl. Das widerspricht aber genau der Eigenschaft der Folge, dass sie "beliebig nahe" an den Grenzwert herankommen kann.
D.h. wenn du irgendeine obere Schranke deiner Menge gefunden hast und dann findest du in deiner Menge drin eine Folge, die gegen diese Schranke konvergiert, dann muss das auch das Supremum sein.
Es müssen aber beide Sachen zusammen sein, eins allein reicht nicht, aber das ist glaube ich auch klar.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal für deine ausführliche Erklärung.
Was wäre aber jetzt, wenn ich eine monoton fallende Folge finden würde. Also, angenommen, ich hätte als mögliches Infimum 1 (also 1.Bedingung des Infimus d.h. untere Schranke erfüllt) und meine Folge ginge gegen 1. Dann könnte ich aber nun (ähnlich wie eben) sagen, dass 1 das Infimum ist, oder?
Ich mach mal ein Beispiel.
Die Folge [mm] 1+\bruch{3}{n} [/mm] , n [mm] \in \IN
[/mm]
Das Infimum ist 1. Die erste Bedingung ist ja klar. Das kriege ich auch locker gezeigt, also das [mm] 1+\bruch{3}{n} \ge [/mm] 1
Und die Folge konvergiert gegen 1 und ist monoton fallend (müsste man das genau zeigen oder reichen erste Folgenglieder oder einfach nur die Behauptung?). Dann kann ich doch sagen, dass 1 mein Infimum wäre.
Beim Supremum hätte ich hier aber dann Probleme, weil ich ja keine Folge finde, die gegen 4 konvergiert. Hier müsste ich dann den "üblichen" Weg wählen?
Danke wieder.
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> Danke erstmal für deine ausführliche Erklärung.
>
Redest du jetzt hier von einer anderen Menge? Wenn ja, dann solltest du auch dazu schreiben, wie die festgelegt wird, sonst gibt das nur Kaffeesatzleserei....
> Was wäre aber jetzt, wenn ich eine monoton fallende Folge
> finden würde. Also, angenommen, ich hätte als mögliches
> Infimum 1 (also 1.Bedingung des Infimus d.h. untere
> Schranke erfüllt) und meine Folge ginge gegen 1. Dann
> könnte ich aber nun (ähnlich wie eben) sagen, dass 1 das
> Infimum ist, oder?
>
> Ich mach mal ein Beispiel.
>
> Die Folge [mm]1+\bruch{3}{n}[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Das Infimum ist 1. Die erste Bedingung ist ja klar. Das
> kriege ich auch locker gezeigt, also das [mm]1+\bruch{3}{n} \ge[/mm]
> 1
>
Ja klar, die Begründung ist gleich.
> Und die Folge konvergiert gegen 1 und ist monoton fallend
> (müsste man das genau zeigen oder reichen erste
> Folgenglieder oder einfach nur die Behauptung?). Dann kann
> ich doch sagen, dass 1 mein Infimum wäre.
Über die Monotonie hab ich auch nachgedacht, aber dann ist mir eingefallen, dass die Folgeglieder auf keinen Fall "auf der anderen Seite" der Zahl liegen können, weil diese ja ein INF oder SUP der Menge ist, aus der die Folgeglieder stammen. Insofern muss man sich über die Monotonie keine Gedanken mehr machen - Hauptsache du hast die Konvergenz nachgewiesen.
>
> Beim Supremum hätte ich hier aber dann Probleme, weil ich
> ja keine Folge finde, die gegen 4 konvergiert. Hier müsste
> ich dann den "üblichen" Weg wählen?
>
Also wenn es um die Menge $M = [mm] \{ p \in \IR | p = 1 + \frac{3}{n}, n \in \IN \} [/mm] $geht.....
Du weißt, dass $4 [mm] \in [/mm] M$ gilt und kannst bestimmt zeigen, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] $1 + [mm] \frac{3}{n} \le [/mm] 4$ ist.
Und damit bist du tatsächlich fertig.
Es gibt (in solchen trivialen Beispielen) grundsätzlich ja zwei Möglichkeiten:
SUP liegt in der Menge drin:
Dann reicht es natürlich, wenn du zeigst, dass diese Zahl überhaupt eine obere Schranke ist. Eine kleinere kann es nicht geben, weil die Zahl selbst in der Menge drin ist.
SUP liegt nicht in der Menge drin:
Hier benutzt man gerne die Folge, weil du durch eine konvergente Folge beliebig dicht an den Grenzwert rankommst. Wenn du also eine obere Schranke gefunden hast und jetzt noch eine Folge angibst, die dagegen konvergiert, dann findest du in jeder noch so kleinen Umgebung von der Zahl Folgeglieder (die ja Elemente der Menge sein müssen). Also kann da keine andere Zahl zwischen liegen, so dass die eine Schranke für die Folgeglieder bilden könnte.
Gleiches gilt natürlich auch für INF, nur alles andersrum....
lg weightgainer
> Danke wieder.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Redest du jetzt hier von einer anderen Menge? Wenn ja, dann
> solltest du auch dazu schreiben, wie die festgelegt wird,
> sonst gibt das nur Kaffeesatzleserei....
Ja, sry. Hätte ich noch dazu sagen sollen.
> Über die Monotonie hab ich auch nachgedacht, aber dann ist
> mir eingefallen, dass die Folgeglieder auf keinen Fall "auf
> der anderen Seite" der Zahl liegen können, weil diese ja
> ein INF oder SUP der Menge ist, aus der die Folgeglieder
> stammen. Insofern muss man sich über die Monotonie keine
> Gedanken mehr machen - Hauptsache du hast die Konvergenz
> nachgewiesen.
>
Ok, bin froh, dass die Monotonie nicht nachgewiesen werden muss xD Das soll jetzt natürlich nicht heißen, dass ich das nicht könnte. Nur spart man sich etwas Arbeit.
Aber die Begründung, warum man das nicht machen muss, ist mir nicht klar. Kannst du das für mich nochmal irgendwie anders erklären? Sry. :(
> Also wenn es um die Menge [mm]M = \{ p \in \IR | p = 1 + \frac{3}{n}, n \in \IN \} [/mm]geht.....
> Du weißt, dass [mm]4 \in M[/mm] gilt und kannst bestimmt zeigen,
> dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] [mm]1 + \frac{3}{n} \le 4[/mm] ist.
> Und damit bist du tatsächlich fertig.
>
Ok, das versteh ich. Aber das Supremum könnte ich mit Konvergenz hier nicht zeigen, oder?
> Es gibt (in solchen trivialen Beispielen) grundsätzlich ja
> zwei Möglichkeiten:
Naja, hätte nichts gegen ein triviales Beispiel in der Arbeit ;)
> SUP liegt in der Menge drin:
> Dann reicht es natürlich, wenn du zeigst, dass diese Zahl
> überhaupt eine obere Schranke ist. Eine kleinere kann es
> nicht geben, weil die Zahl selbst in der Menge drin ist.
>
> SUP liegt nicht in der Menge drin:
> Hier benutzt man gerne die Folge, weil du durch eine
> konvergente Folge beliebig dicht an den Grenzwert
> rankommst. Wenn du also eine obere Schranke gefunden hast
> und jetzt noch eine Folge angibst, die dagegen konvergiert,
> dann findest du in jeder noch so kleinen Umgebung von der
> Zahl Folgeglieder (die ja Elemente der Menge sein müssen).
> Also kann da keine andere Zahl zwischen liegen, so dass die
> eine Schranke für die Folgeglieder bilden könnte.
>
> Gleiches gilt natürlich auch für INF, nur alles
> andersrum....
>
Ähm, verstehe alles davon, nur habe ich noch eine Frage dazu. Du sagst, dass man eine Folge finden muss. Ist das implizit nicht vorgegeben? ich mein: Wenn man z.B. die Menge 1 + [mm] \bruch{3}{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN, [/mm] da kann man doch nur von DIESER Folge den Grenzwert bestimmen. Oder würde eine Teilfolge auch reichen. Die müsste zwar den selben Grenzwert haben, aber könnte ja auch sein, dass die ursprüngliche Folge divergiert und dann hätte man ein Problem, oder? Also, kurz gesagt: Mir ist nicht klar, wie man so eine Folge finden würde, außer die Folge, die da angegeben ist.
Danke vielmals. Gruß
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> > Redest du jetzt hier von einer anderen Menge? Wenn ja, dann
> > solltest du auch dazu schreiben, wie die festgelegt wird,
> > sonst gibt das nur Kaffeesatzleserei....
>
> Ja, sry. Hätte ich noch dazu sagen sollen.
>
> > Über die Monotonie hab ich auch nachgedacht, aber dann ist
> > mir eingefallen, dass die Folgeglieder auf keinen Fall "auf
> > der anderen Seite" der Zahl liegen können, weil diese ja
> > ein INF oder SUP der Menge ist, aus der die Folgeglieder
> > stammen. Insofern muss man sich über die Monotonie keine
> > Gedanken mehr machen - Hauptsache du hast die Konvergenz
> > nachgewiesen.
> >
>
> Ok, bin froh, dass die Monotonie nicht nachgewiesen werden
> muss xD Das soll jetzt natürlich nicht heißen, dass ich
> das nicht könnte. Nur spart man sich etwas Arbeit.
>
> Aber die Begründung, warum man das nicht machen muss, ist
> mir nicht klar. Kannst du das für mich nochmal irgendwie
> anders erklären? Sry. :(
Ich kann es versuchen. Bleiben wir hier bei dem Beispiel und dem Infimum 1:
Du bist also jetzt an der Stelle, dass du schon weißt, dass 1 eine untere Schranke ist. Du willst jetzt noch nachweisen, dass es aber tatsächlich die größte untere Schranke ist.
Wenn du dir dazu jetzt eine Folge aus der Menge nimmst - dann MÜSSEN alle Folgeglieder doch schon größer als 1 sein, denn ansonsten könnte 1 doch keine untere Schranke sein. Also liegen (umgangssprachlich gesagt) alle Folgeglieder auf der gleichen Seite von der 1, die sind nämlich alle größer.
Abgesehen davon brauchst du die Monotonie für die Argumentation hier nicht. Wichtig ist ja die Konvergenz, also die Existenz unendlich vieler Folgeglieder in beliebig kleinem Abstand zum Grenzwert.
Wird dir das so klarer?
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> > Also wenn es um die Menge [mm]M = \{ p \in \IR | p = 1 + \frac{3}{n}, n \in \IN \} [/mm]geht.....
> > Du weißt, dass [mm]4 \in M[/mm] gilt und kannst bestimmt zeigen,
> > dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] [mm]1 + \frac{3}{n} \le 4[/mm] ist.
> > Und damit bist du tatsächlich fertig.
> >
> Ok, das versteh ich. Aber das Supremum könnte ich mit
> Konvergenz hier nicht zeigen, oder?
Naja, wir gehen ja eigentlich immer davon aus, dass du schon eine Schranke gefunden hast. Und wenn du eine Schranke gefunden hast, die in der Menge drin liegt, dann ist jede weitere Untersuchung wirklich überflüssig.
Wenn du unbedingt eine Folge haben willst, dann nimm die konstante Folge [mm] (4)_{n \in \IN}, [/mm] die offenbar gegen 4 konvergiert  .
>
> > Es gibt (in solchen trivialen Beispielen) grundsätzlich ja
> > zwei Möglichkeiten:
>
> Naja, hätte nichts gegen ein triviales Beispiel in der
> Arbeit ;)
"Trivial" deswegen, weil es hier um recht einfache Zahlenmengen geht, die sogar schon über eine Folgen-Vorschrift festgelegt werden.
>
> > SUP liegt in der Menge drin:
> > Dann reicht es natürlich, wenn du zeigst, dass diese
> Zahl
> > überhaupt eine obere Schranke ist. Eine kleinere kann es
> > nicht geben, weil die Zahl selbst in der Menge drin ist.
> >
> > SUP liegt nicht in der Menge drin:
> > Hier benutzt man gerne die Folge, weil du durch eine
> > konvergente Folge beliebig dicht an den Grenzwert
> > rankommst. Wenn du also eine obere Schranke gefunden hast
> > und jetzt noch eine Folge angibst, die dagegen konvergiert,
> > dann findest du in jeder noch so kleinen Umgebung von der
> > Zahl Folgeglieder (die ja Elemente der Menge sein müssen).
> > Also kann da keine andere Zahl zwischen liegen, so dass die
> > eine Schranke für die Folgeglieder bilden könnte.
> >
> > Gleiches gilt natürlich auch für INF, nur alles
> > andersrum....
> >
>
> Ähm, verstehe alles davon, nur habe ich noch eine Frage
> dazu. Du sagst, dass man eine Folge finden muss. Ist das
> implizit nicht vorgegeben? ich mein: Wenn man z.B. die
> Menge 1 + [mm]\bruch{3}{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN,[/mm] da kann man doch nur
> von DIESER Folge den Grenzwert bestimmen. Oder würde eine
> Teilfolge auch reichen.
Ja, eine Teilfolge reicht, aber in deinen Beispielen war das ja schon ganz nett gemacht.
> Die müsste zwar den selben
> Grenzwert haben, aber könnte ja auch sein, dass die
> ursprüngliche Folge divergiert und dann hätte man ein
> Problem, oder?
Also bei Divergenz musst du dann tatsächlich eine Teilfolge finden, die dann gegen dein vermutetes SUP konvergiert.
> Also, kurz gesagt: Mir ist nicht klar, wie
> man so eine Folge finden würde, außer die Folge, die da
> angegeben ist.
Man kann ja auch andere Mengen angeben, z.B. durch Intervalle, Wertebereiche, ..... Dort muss man dann tatsächlich erst einmal eine solche Folge finden.
Es kann z.B. eine Menge sein, bei der die Folge immer hin- und herspringt wegen eines [mm] (-1)^{n} [/mm] und die Werte sich dauernd ändern (ansonsten hätte M ja nur endlich viele Elemente und dann sind SUP und INF natürlich trivial, nämlich in der Menge drin und zwar MAX und MIN - Sinn macht die Aufgabe ja nur, wenn in M unendlich viele Werte drin liegen.
Und die Frage macht natürlich nur Sinn, wenn die Folge BESCHRÄNKT ist.
Ich hab jetzt auch länger über ein Beispiel nachgedacht, aber es ist garnicht so einfach, eine Folge zu finden, die beschränkt ist, die unendlich viele verschiedene Folgeglieder hat und die nicht konvergiert.
>
> Danke vielmals. Gruß
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab jetzt auch länger über ein Beispiel nachgedacht,
> aber es ist garnicht so einfach, eine Folge zu finden, die
> beschränkt ist, die unendlich viele verschiedene
> Folgeglieder hat und die nicht konvergiert.
betrachte mal [mm] <$a_n$> [/mm] mit
[mm] $$a_n:=(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
[/mm]
oder
[mm] $$a_n:=(-1)^n\left(1+(-1)^n\frac{1}{n}\right)\,.$$
[/mm]
Dass beschränkte Folgen (des [mm] $\IK^n$) [/mm] stets konvergente Teilfolgen haben, besagt ja gerade Bolzano Weierstraß. Daher: In beschränkten Mengen kann man zu jeder Folge der Menge eine konvergente Teilfolge, und damit eine Folge in der Menge, die (im [mm] $\IK^n$) [/mm] konvergiert, finden.
P.S.
Übrigens allgemeiner Grundgedanke:
Man nehme z.B. (mehrere, aber endlich viele) Folgen her, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren (und mindestens eine davon habe unendlich viele verschiedene Folgeglieder) und bastle damit eine Folge zusammen (d.h. nur unter Verwendung der durch diese Folgen gegebenen Folgeglieder). Alle Folgen sind als konvergente Folgen beschränkt, daher auch die so zusammengebastelte. Wenn die so zusammengebastelte Folge unendlich viele Folgenglieder der Folge mit den unendlich viel verschiedenen Folgengliedern enthält, dann hat sie auch unendlich viel verschiedene Folgenglieder.
Dieses "Zusammenbasteln" ist quasi so zu verstehen, dass man Glieder der endlich vielen Folgen in der zusammengebastelten wiederfindet und wenigstens eine Teilfolge der konvergenten Folge mit unendlich vielen Folgengliedern in einer Teilfolge der zusammengebastelten wiederfindet. Hört sich kompliziert und vielleicht auch ein wenig verwirrend an, aber wenn man sich das mal anhand 3 oder 4 Folgen überlegt, ist das einfach. Nimm' mal 3 konvergente Folgen her, wovon z.B. eine streng monoton ist... und die 3 Grenzwerte sollten paarweise verschieden sein.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Ich hab jetzt auch länger über ein Beispiel nachgedacht,
> > aber es ist garnicht so einfach, eine Folge zu finden, die
> > beschränkt ist, die unendlich viele verschiedene
> > Folgeglieder hat und die nicht konvergiert.
>
> betrachte mal <[mm]a_n[/mm]> mit
> [mm]a_n:=(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)[/mm]
Aber das ist doch auch ohne Teilfolgen zu machen, weil die Folgeglieder sozusagen von außen nach innen gehen für wachsendes n, somit liegen SUP und INF in der Menge drin.
> oder
> [mm]a_n:=(-1)^n\left(1+(-1)^n\frac{1}{n}\right)\,.[/mm]
>
Das ist ein passendes Beispiel, SUP ist zwar 1,5, also in der Menge drin, aber das INF -1 nicht.
> Dass beschränkte Folgen (des [mm]\IK^n[/mm]) stets konvergente
> Teilfolgen haben, besagt ja gerade Bolzano Weierstraß.
> Daher: In beschränkten Mengen kann man zu jeder Folge der
> Menge eine konvergente Teilfolge, und damit eine Folge in
> der Menge, die (im [mm]\IN^n[/mm]) konvergiert, finden.
>
> Gruß,
> Marcel
Danke für die mathematische Fundierung meiner umgangssprachlichen Erläuterungen .
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:43 So 23.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Ich hab jetzt auch länger über ein Beispiel nachgedacht,
> > > aber es ist garnicht so einfach, eine Folge zu finden, die
> > > beschränkt ist, die unendlich viele verschiedene
> > > Folgeglieder hat und die nicht konvergiert.
> >
> > betrachte mal <[mm]a_n[/mm]> mit
> > [mm]a_n:=(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)[/mm]
>
> Aber das ist doch auch ohne Teilfolgen zu machen, weil die
> Folgeglieder sozusagen von außen nach innen gehen für
> wachsendes n, somit liegen SUP und INF in der Menge drin.
ich hatte nur eine beschränkte Folge, die nicht konvergiert, aber unendlich viele verschiedene Folgeglieder hat, angeben wollen. Von welcher Menge redest Du hier?
Was Du vielleicht machst, ist:
Du betrachtest [mm] $M:=\{a_n: n \in \IN\}\,.$ [/mm] Das stimmt natürlich, dass das Supremum dieser Menge in [mm] $M\,$ [/mm] liegt (ändert aber nichts daran, dass oben eine beschränkte Folge steht, die unendlich viele verschiedene Folgenglieder hat). Aber Du kannst auch analog eine Menge angeben, die weder ein Maximum noch ein Minimum, aber Supremum und Infimum, hat:
Betrachte etwa [mm] $a_n:=1-\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $b_n:=-1+\frac{1}{n}$ [/mm] und dann die Menge
[mm] $$M:=\{a_n,\;b_n: n \in \IN\}=\{a_n: n \in \IN\} \cup \{b_n: n \in \IN\}=\left\{1-\frac{1}{n},\;-1+\frac{1}{n}: n \in \IN\right\}\,.$$
[/mm]
Natürlich hätte man auch eine einzelne Folge der Art
[mm] $$c_n:=\begin{cases} 1-\frac{1}{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1+\frac{2}{n+1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
und dann
[mm] $$M=\{c_n: n \in \IN\}$$
[/mm]
angeben können.
> > oder
> > [mm]a_n:=(-1)^n\left(1+(-1)^n\frac{1}{n}\right)\,.[/mm]
> >
>
> Das ist ein passendes Beispiel, SUP ist zwar 1,5, also in
> der Menge drin, aber das INF -1 nicht.
Wie gesagt: Da stehen oben nur beschränkte Folgen mit unendlich vielen verschiedenen Folgegliedern. Welche Mengen Du damit bildest oder betrachtest und von welchen Suprema etc. Du da sprichst: Darum hatte ich mich gar nicht gekümmert. 
Aber gut ist, dass für Deine Betrachtungen dann das letzte Beispiel offenbar das sinnvolle war.
>
> > Dass beschränkte Folgen (des [mm]\IK^n[/mm]) stets konvergente
> > Teilfolgen haben, besagt ja gerade Bolzano Weierstraß.
> > Daher: In beschränkten Mengen kann man zu jeder Folge der
> > Menge eine konvergente Teilfolge, und damit eine Folge in
> > der Menge, die (im [mm]\red{\IN}^n[/mm]) konvergiert, finden.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke für die mathematische Fundierung meiner
> umgangssprachlichen Erläuterungen .
So umgangssprachlich sind die gar nicht. Bzw. es ist jedenfalls dann eher eine mathematische Umgangssprache.
P.S.:
Das rote [mm] $\red{\IN}^n$ [/mm] sollte natürlich [mm] $\IK^n$ [/mm] heißen - hab's editiert.
Gruß,
Marcel
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Danke für die umfangreiche Erklärung.
Ich hatte nur folgendes im Kopf:
Da will jemand für eine Menge, die über eine Folge definiert ist, sup und inf ermitteln und weil das für seine Beispiele "zu leicht" war, hab ich über eine Folge nachgedacht, so dass die so entstehende Menge beschränkt ist, aber nicht konvergent und auch immer unterschiedliche Folgeglieder liefert - denn genau in diesem Fall muss man überhaupt erst anfangen, eine konvergente Teilfolge zu suchen.
Klar sind meine Antworten keine Umgangssprache, aber du hast es durch das Heranziehen analytischer Feststellungen doch sehr fest zementiert .
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 So 23.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die umfangreiche Erklärung.
>
> Ich hatte nur folgendes im Kopf:
>
> Da will jemand für eine Menge, die über eine Folge
> definiert ist, sup und inf ermitteln und weil das für
> seine Beispiele "zu leicht" war, hab ich über eine Folge
> nachgedacht, so dass die so entstehende Menge beschränkt
> ist, aber nicht konvergent und auch immer unterschiedliche
> Folgeglieder liefert - denn genau in diesem Fall muss man
> überhaupt erst anfangen, eine konvergente Teilfolge zu
> suchen.
also hier als "Kommentar" zu einem Thread ist das keiner Diskussion wirklich Wert. Aber ich denke, dass Du oben etwas anderes meinst, als dass "eine Menge konvergent" ist. Denn das macht in dieser Formulierung nicht wirklich Sinn. Du meinst vielleicht, dass man eine Menge angibt, so dass das auffinden einer konvergenten Folge innerhalb der Menge (bzgl. des Supremums bzw. Infimums) nicht ganz so banal ist. Man muss hier auch ein wenig aufpassen: Dass die Angabe bzw. das Auffinden solcher Folgen innerhalb der Mengen bei uns "so banal" ist (man solche Folgen quasi durch genaueres Hinsehen durch erkennen gewisser Teilfolgen direkt angeben kann), liegt einfach daran, dass wir die Mengen auch mithilfe von Folgen konstruiert haben.
Wenn eine Menge irgendwie da steht oder evtl. anders charakterisiert wird, ist das nicht ganz so banal. Z.B. sieht man in
[mm] $$(0,1)=]0,1[=\{x \in \IR: 0 < x < 1\}$$
[/mm]
"erstmal" nicht direkt eine Folge, die gegen das Infimum [mm] $0\,$ [/mm] konvergiert. Aber man kann trotzdem etwa durch
[mm] $$a_n=\frac{1}{n+1}$$
[/mm]
(oder [mm] $a_n=\frac{1}{(n+1)^7}$ [/mm] oder [mm] $a_n=\frac{1}{e*n^3+\pi*3027}$)
[/mm]
(für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm]
solch' eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] angeben.
Zugegeben: In dem Beispiel [mm] $]0,1[=(0,1)\,$ [/mm] ist es natürlich dennoch einfach, derartige Folgen zu finden. Das liegt aber im Wesentlichen daran, dass wir uns gut mit der Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] auskennen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo.
>
> Sry, dass ich mehrere Themen diesbezüglich stelle.
>
> Mein Übungsleiter hat folgendes gemacht:
>
> M:= [mm]\{\bruch{1+2n^{2}}{1+n^{2}}[/mm] | n [mm]\in \IN[/mm] [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0} $\}$
>
> Nach etwas Umformen (was mir auch klar ist), kam er dann
> auf
>
> 2- [mm]\bruch{1}{1+n^{2}}[/mm]
>
> Das Supremum ist ja 2. Das dies eine obere Schranke ist,
> könnte ich auch noch zeigen. Aber um zu zeigen, dass es
> die KLEINSTE obere Schranke ist, versteh ich nicht ganz.
> Mein Übungsleiter hat den Limes der "neuen" Funktion
> gebildet und der geht gegen 2 und damit HABE er bewiesen,
> dass es die kleinste obere Schranke ist. Geht das IMMER???
es gibt einen (schönen) Satz der Analysis, den ich gleich erwähnen werde. Zuvor sei erstmal folgendes gesagt:
Sei $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] nach oben beschränkt. Dann hat [mm] $M\,$ [/mm] bekanntlich ein Supremum [mm] $S=S_M \in \IR\,,$ [/mm] wobei $S [mm] \in \IR$ [/mm] die kleinste obere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist.
(D.h. es gelten
1.) Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt $m [mm] \le [/mm] S$
und
2.) Ist [mm] $\tilde{S}$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $M\,,$ [/mm] so folgt [mm] $\tilde{S} \ge S\,.$
[/mm]
Die 2. Bedingung kann man auch so formulieren:
Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist [mm] $S-\epsilon$ [/mm] KEINE obere Schranke von [mm] $M\,,$ [/mm] d.h. für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $m=m_{\epsilon} \in [/mm] M$ mit [mm] $S-\epsilon [/mm] < m [mm] \le S\,.$)
[/mm]
Nun gibt es eine (wunderschöne) Charakterisierung des Supremums:
Es gilt nämlich: Genau dann ist [mm] $S=S_M \in \IR$ [/mm] das Supremum der Menge [mm] $M\,,$ [/mm] wenn
1.) [mm] $S\,$ [/mm] ist obere Schranke von [mm] $M\,,$ [/mm] d.h. $m [mm] \le [/mm] S$ für alle $m [mm] \in [/mm] M$
UND
2.) Es existiert eine Folge in [mm] $M\,,$ [/mm] die gegen [mm] $S\,$ [/mm] konvergiert, d.h.:
Es existieren [mm] $m_n \in [/mm] M$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] mit [mm] $m_n \to [/mm] S$ ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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