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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert von Fkt.
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Grenzwert von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 15.01.2006
Autor: Reaper

Aufgabe
Zeigen Sie dass das nichtlineare Gleichungssystem
x= [mm] e^{sin(x^{3}-y)} [/mm]
y= [mm] \wurzel{|cos(xy)|} [/mm]
mindestens eine Lösung (x,y) in [mm] \IR^{2} [/mm] hat.

Dass die Funktion stetig ist, ist offensichtlich.

Was wir uns in der Vorlesung zu diesem Bsp. notiert haben kapier ich nicht so ganz.....

Da für alle (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] sin(x^3-y) \in [/mm] [-1,1] (da |sin(x)| <=1 ist?) und damit wegen der Monotonie der Exponentialfunktion (Wozu brauch ich die?) [mm] e^{sin(x^{3}-y)} \in [/mm] [1/e,e] und aßerdem [mm] \wurzel{|cos(xy)|} \in [/mm] [0,1] (da ich von einer negativen Zahle nicht die Wurzel ziehen kann?) gilt,erhalten wir mit A:= [1/e,e] x [0,1]  [mm] \subseteq \IR^{2},(Wozu [/mm] brauch ich das?) dass f:A -> A. (Wozu brauch ich die Funktion?)
Da A abgeschlossen und beschränkt ist, ist a kompakt. Da A als Rechteck offensichtlich konvex und f stetig ist, folgt nun mit dem Fixpunktsatz von Brouwer die Behauptung. (Ist also der Fixpunkt die Lösung?)
Das alles ist noch eher verwirrend....eine Erklärung mit welchen Ansatz ich auf die Schritte komme währe toll...

mfg,
Hannes


        
Bezug
Grenzwert von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 So 15.01.2006
Autor: kunzm

Hallo Hannes,

die Schritte am Anfang dienen zur Bestimmung der Wertebereiche der Funktionen. Das ist ja eigentlich nicht so schwer zu erkennen oder?

Dass der [mm] $\sin(...)$ [/mm] nur in das Intervall $[-1,1]$ abbildet dürfte bekannt sein.
Damit bildet aber die Exponentialfunktion mit dem Sinus im Argument eben nur auf [mm] $[e^{-1},e^1]$ [/mm] ab, was ja genau das Intervall ist das Du angegeben hast.

Die zweite Funktion $y= [mm] \wurzel{|cos(xy)|}$ [/mm] bildet nur auf das Intervall
$[0,1]$ ab weil der Cosinus wie der Sinus in das Intervall $[-1,1]$ abbildet. Der Betrag macht daraus eben das Intervall $[0,1]$ und die Wurzel bildet dieses Intervall eben wieder auf sich selbst ab. Damit hast Du die Wertebereiche von x und y komplett.

Ich denke jetzt ist im weiteren folgendes gemeint:

Sei [mm] $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow [e^{-1},e^1] \times [0,1]:(x,y)\rightarrow [/mm] ( [mm] e^{sin(x^{3}-y)},\,\wurzel{|cos(xy)|})$. [/mm]

Hier ist [mm] $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$. [/mm]

Und wenn Du Dir jetzt überlegst wo die Wertemengen liegen, kannst du auch zeigen, dass es (mindestens) eine Lösung in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] gibt.
Ich denke den Fixpunktsatz brauchst Du da nicht dazu.

Gruß, Martin

Bezug
        
Bezug
Grenzwert von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mo 16.01.2006
Autor: Reaper

Aufgabe
eine andere ähnliche Aufgabe:
[mm] 3^{sin(x+y)*cos(xy)} [/mm] = 4x
cos(x-y) = [mm] 5^{2/(1+x^{2}+y^{2})} [/mm] * y

z.z.: mindestens eine Lösung (x,y) in [mm] \IR^{2} [/mm] besitzt.


So...ich hab mal so angefangen....zuerst einmal auf eine gscheite Form gebracht....

1.Fkt.: x = [mm] (3^{sin(x+y)*cos(xy)})/4 [/mm]
2.Fkt.: y = [mm] (cos(x-y))/(5^{2/(1+x^{2}+y^{2})} [/mm] )

Dann hätte ich folgendes gesagt:
1.Fkt.: [3/4,-3/4]  ...Wertebereich
2.Fkt.: [mm] [-1/5^{2},1/5^{2}] [/mm]  ...Wertebereich


Stimmt das soweit?
mfg,
Hannes

Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Fkt.: Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Di 17.01.2006
Autor: leduart

Hallo Hannes
> eine andere ähnliche Aufgabe:
>  [mm]3^{sin(x+y)*cos(xy)}[/mm] = 4x
>  cos(x-y) = [mm]5^{2/(1+x^{2}+y^{2})}[/mm] * y
>  
> z.z.: mindestens eine Lösung (x,y) in [mm]\IR^{2}[/mm] besitzt.
>  
>
> So...ich hab mal so angefangen....zuerst einmal auf eine
> gscheite Form gebracht....
>  
> 1.Fkt.: x = [mm](3^{sin(x+y)*cos(xy)})/4[/mm]
>  2.Fkt.: y = [mm](cos(x-y))/(5^{2/(1+x^{2}+y^{2})}[/mm] )
>  
> Dann hätte ich folgendes gesagt:
>  1.Fkt.: [3/4,-3/4]  ...Wertebereich

falsch, keine neg. Werte ! rechne nochmal!

>  2.Fkt.: [mm][-1/5^{2},1/5^{2}][/mm]  ...Wertebereich

richtig
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mi 18.01.2006
Autor: Reaper

Hallo....ist der Wertebereich der 1.Fkt etwa: [1/4,3/4] ?

mfg,
Hannes

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert von Fkt.: falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:38 Do 19.01.2006
Autor: leduart

Hallo Reaper
> Hallo....ist der Wertebereich der 1.Fkt etwa: [1/4,3/4] ?

Nein, [mm] [1/4*3^{-1},3/4] [/mm]
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert von Fkt.: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 19:04 Do 19.01.2006
Autor: Reaper

Hallo...ok...hab mal das Bsp. vervollständigt und will gerne wissen ob da noch Fehler enthalten sind:
[mm] f:\IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2} [/mm]
1.Fkt.: x = [mm] (3^{sin(x+y)*cos(xy)})/4 [/mm]

|sin(x+y)|<=1 und |cos(xy)|<=1
-> (x,y) [mm] \in \IR^{2}:sin(x+y)*cos(xy) \in [/mm] [-1,1] und damit wegen der Monotonie? von [mm] 3^{x}/4 [/mm]
[mm] (3^{sin(x+y)*cos(xy)})/4 \in [3^{-1}*1/4 [/mm] ,3/4]

2.Fkt.: y = [mm] cos(x-y)/5^{2/(1+x^{2}+y)} [/mm]
|cos(x-y)|<=1 -> (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : cos(x-y) [mm] \in [/mm] [-1,1]
[mm] 2/(1+x^{2}+y) [/mm] <= 2
....muss ich hier auch mit einer Monotonie argumentieren???
...mit der von [mm] 1/5^{x} [/mm] ???
[mm] cos(x-y)/5^{2/(1+x^{2}+y)} \in [-1/5^{2},1/5^{2}] [/mm]

....Wertebereiche von x und y komplett.

Sei [mm] f:\IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] -> [mm] [3^{-1}*1/4,3/4]x[-1/5^{2},1/5^{2}] [/mm] : (x,y)-> [mm] (3^{sin(x+y)*cos(xy)})/4, cos(x-y)/5^{2/(1+x^{2}+y)}) [/mm]

Konstruiere mir Fkt. für Fixpunktsatz von Brouwer
A:= [mm] [3^{-1}*1/4,3/4]x[-1/5^{2},1/5^{2}] \subseteq \IR^{2} [/mm] -> f:A->A
4 Bedingungen für Fixpunktsatz von Brouwer gelten...daraus folgt die Behauptung.

Wie ihr seht hab ich speziell mit der Monotonie so meine Schwierigkeiten...warum braucht man die Monotonie überhaupt zur Bestimmung des Wertebereichs....was sagt mir die Monotonie....?

mfg,
Hannes

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert von Fkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:53 Sa 21.01.2006
Autor: matux

Hallo Hannes!


Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

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