Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Das Pendel einer Uhr mit einer Schwingungsdauer (Periode) von 2 Sekunden
wird innerhalb der ersten Sekunde jeder Periode durch einen Stoss angeregt;
dadurch vermehrt sich seine Gesamtenergie jeweils um ein Joule. In der restlichen
Zeit der Periode verringert sich die Energie des Pendels (durch Reibung)
jeweils um 4%.
Mit En bezeichne die Gesamtenergie des Pendels zu Beginn der n-ten Periode.
a) Geben Sie ein Rekursionsformel für die Folge (En)n [mm] \in [/mm] N an.
b) Für den Fall E0 = 0 zeige man, dass die Folge (En)n [mm] \in [/mm] N monoton und
beschränkt ist.
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge, falls dieser existiert. |
Ich würde euch gerne meine Ansätze geben, leider hab ich nicht mal einen :( . Kann mir hierbei jemand helfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=419156&hilightuser=31124
|
|
| |
|
> Das Pendel einer Uhr mit einer Schwingungsdauer (Periode)
> von 2 Sekunden
> wird innerhalb der ersten Sekunde jeder Periode durch
> einen Stoss angeregt;
> dadurch vermehrt sich seine Gesamtenergie jeweils um ein
> Joule. In der restlichen
> Zeit der Periode verringert sich die Energie des Pendels
> (durch Reibung)
> jeweils um 4%.
> Mit En bezeichne die Gesamtenergie des Pendels zu Beginn
> der n-ten Periode.
> a) Geben Sie ein Rekursionsformel für die Folge (En)n [mm]\in[/mm]
> N an.
> b) Für den Fall E0 = 0 zeige man, dass die Folge (En)n
> [mm]\in[/mm] N monoton und
> beschränkt ist.
> c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge, falls dieser
> existiert.
> Ich würde euch gerne meine Ansätze geben, leider hab ich
> nicht mal einen.
Hallo Lentio,
du kannst dir doch zuerst einmal eine Tabelle der ersten
paar Werte [mm] E_n [/mm] etwa für [mm] n\in\{0,1,2,3,4,5\} [/mm] berechnen.
Wenn du dir klar machst, wie du aus einem Wert der Tabelle
zum nächsten gekommen bist und dies formal in der Weise
$\ [mm] E_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{......................................}_{Formel,\ in\ der\ E_n\ vorkommt}$
[/mm]
aufschreibst, hast du die gefragte Rekursionsformel.
Für b) stützt du dich auf die entsprechenden Definitionen.
Für c) kannst du zuerst eine Vermutung aufstellen und die
dann nachzuweisen versuchen. Falls dir c) gelingt, könntest
du natürlich auf den zweiten Teil von b) (Beschränktheit)
auch verzichten.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort.
Also das ist mir jetzt einwenig peinlich, aber wie fange ich überhaupt an?
|
|
|
| |
|
Hallo Lentio,
dann zu a), also zur Bestimmung der Rekursionsformel.
[mm] E_{n} [/mm] sei die Energie des Pendels (in Joule) in der n-ten Periode.
Nun wird zu Beginn der (n+1)-ten Periode zunächst der Energie 1 Joule hinzugefügt.
--> [mm] $E_{n}+1$
[/mm]
Danach (nach dem Hinzufügen des 1 Joule) verliert das Pendel noch 4% der Energie, also bleiben 96% übrig.
--> [mm] $0.96*(E_{n}+1)$
[/mm]
Insgesamt also:
--> [mm] $E_{n+1} [/mm] = [mm] 0.96*(E_{n}+1)$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Lentio |
Ah, danke. Das hat mir sehr geholfen. Ich setze mich mal gleich weiter an die Aufgaben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Mija |
Wie zeige ich die Beschränktheit und Monotonie? Das müsste ich doch über Induktion machen, oder?
Aber diese rekursive Folge ist doch garnicht beschränkt, oder irre ich mich da?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mija!
> Wie zeige ich die Beschränktheit und Monotonie? Das
> müsste ich doch über Induktion machen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
> Aber diese rekursive Folge ist doch garnicht beschränkt,
> oder irre ich mich da?
Da irrst Du ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 So 16.05.2010 | | Autor: | jaood |
Wie sieht es denn nun mit b) und c) aus?
Ist der richtige Ansatz für Monotonie, dass man En+1 - En > 0 setzt? Und wie erählt man die obere Beschränkung?
Außerdem ist meine Frage, wie man den Limes sieht, denn man hat ja nicht direkt n in der Folge, sondern immer En, wie kann man so den Grenzwert bestimmen?
Bin dankbar für alle Tipps.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Wie sieht es denn nun mit b) und c) aus?
>
> Ist der richtige Ansatz für Monotonie, dass man En+1 - En
> > 0 setzt?
Fast. Man setzt aber nicht eine Behauptung ... größer 0 oder ... kleiner Null an.
Man formt einfach den linken Tern so lange um, bis klar ersichtlich ist, ob er größer oder kleiner Null ist und formuliert erst dann die Schlussfolgerung für die Monotonie.
> Und wie erählt man die obere Beschränkung?
>
> Außerdem ist meine Frage, wie man den Limes sieht, denn
> man hat ja nicht direkt n in der Folge, sondern immer En,
> wie kann man so den Grenzwert bestimmen?
Falls die Folge konvergiert, sind für große n die Werte [mm] E_{n+1} [/mm] und [mm] E_n [/mm] nahezu gleich, es gilt also näherungsweise die Beziehung [mm] E_{n+1}=E_n [/mm] .
Mit diesem Ansatz findest du den Grenzwert.
Gruß Abakus
>
> Bin dankbar für alle Tipps.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 So 16.05.2010 | | Autor: | jaood |
Danke für die Tipps. Mein konkretes Problem ist, dass ich den Lösungsansatz nicht finde. Was mich verwirrt ist, dass in der Definition der Folge, die Folge selbst vorkommt, bedingt durch die Rekursion.
Wir haben die Folge En+1 = ( En + 1 ) * 0,96
En ist damit (En-1 + 1) * 0,96
Wie kann ich damit rechnen? Was mir Probleme bereitet ist, dass En in der Def der Folge vorkommt. Ich weiß nicht genau, wie ich nun die obere Beschränktheit bzw das Konvergieren gegen diesen nachweise.
Ich hoffe ich konnte klar machen, wo mein Problem liegt.
Danke im voraus. 
|
|
|
| |
|
Hallo,
Es bietet sich hier an zuerst den Grenzwert zu suchen, gegen den die Folge strebt. Per Definition von Konvergenz darf sich [mm] E_{n+1} [/mm] nur unwesentlich von [mm] E_n [/mm] unterscheiden. Daher die Fixpunktgleichung: [mm] E_{n+1}=E_n.
[/mm]
Hat die Gleichung keine bzw. nur uneigentliche Lösungen [mm] \pm\infty, [/mm] dann gibt es auch keinen Grenzwert und keine Konvergenz!
Nun musst du 1. entscheiden, ob sich die Folge auch stets in Richtung Grenzwert entwickelt (bei [mm] E_n
2. Echt größer als der GW werden kann, wenn [mm] E_n [/mm] < GW bzw. umgekehrt. Dazu solltest du die Formel so umformen, dass sie die Form [mm] E_{n+m}= [/mm] ...erhält. Die Formel muss nicht immer endlich sein!
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 16.05.2010 | | Autor: | jaood |
Also aus logischen Gründen ist der Grenzwert 24, denn dort ist En + 1 = 25. Das mal 24/25 (0,96) ist 24. Da die Rekursionsformel mit En-1 arbeitet, kann die Folge also den Wert 24 nicht überschreiten.
Jetzt habe ich jedoch das Problem dies mathematisch zu formulieren, bzw zu zeigen. Leider wurde es mir durch die Antwort noch nicht ganz klar. Mein großes Verständnisproblem ist nach wie vor, dass die Folge über die Folge definiert wird.
Wie zeige ich, dass die Folge gegen 24 konvergiert?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ E_n [/mm] $= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ E_n-1 [/mm] $ +1 * 24/25
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaood!
Den Grenzwert erhält man über den Ansatz:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}E_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}E_{n} [/mm] \ =: \ E$$
Dies nun in die Rekursionsvorschrift einsetzen:
[mm] $$E_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(E_n+1\right)*0{,}96$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ E \ = \ [mm] \left(E+1\right)*0{,}96$$
[/mm]
Nun umstellen nach dem Grenzwert $E \ = \ ...$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Hallo jaood!
>
>
> Den Grenzwert erhält man über den Ansatz:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}E_{n+1} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}E_{n} \ =: \ E[/mm]
>
> Dies nun in die Rekursionsvorschrift einsetzen:
> [mm]E_{n+1} \ = \ \left(E_n+1\right)*0{,}96[/mm]
> [mm]\Rightarrow \ E \ = \ \left(E+1\right)*0{,}96[/mm]
>
> Nun umstellen nach dem Grenzwert [mm]E \ = \ ...[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
Hallo zusammen,
bei dieser Methode, den Wert des Grenzwerts zu ermitteln
(auf die ich auch schon hinweisen wollte), setzt man die
Existenz eines Grenzwertes schon voraus.
Man könnte sich durchaus Rekursionsformeln von Folgen
vorstellen, bei welchen die Gleichung $\ [mm] a_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] a_n$
[/mm]
lösbar ist (ev. sogar mit vielen Lösungen), die aber trotzdem
gar nicht konvergent sind.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Also aus logischen Gründen ist der Grenzwert 24, denn dort
> ist En + 1 = 25. Das mal 24/25 (0,96) ist 24. Da die
> Rekursionsformel mit En-1 arbeitet, kann die Folge also den
> Wert 24 nicht überschreiten.
>
> Jetzt habe ich jedoch das Problem dies mathematisch zu
> formulieren, bzw zu zeigen. Leider wurde es mir durch die
> Antwort noch nicht ganz klar. Mein großes
> Verständnisproblem ist nach wie vor, dass die Folge über
> die Folge definiert wird.
>
> Wie zeige ich, dass die Folge gegen 24 konvergiert?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]E_n [/mm]=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]E_n-1[/mm] +1 * 24/25
Weise nach, dass
1) die Folge monoton wachsend ist und
2) eine obere Schranke existiert.
Dann kannst du den Ansatz [mm] E_{n+1}=E_n [/mm] auch tatsächlich verwenden.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 16.05.2010 | | Autor: | jaood |
Danke an alle.
|
|
|
|
