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| Aufgabe | Existieren folgende Grenzwerte? Wenn ja, welchen Wert haben sie?
1. [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[n]{1+x} -1}{x}
[/mm]
2. [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|2x-1|-|2x+1|}{x+|x|(1+x)}
[/mm]
3. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x \wurzel{x+1} (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2} [/mm] |
Hallo Leute,
kann mir jemand bei diesen drei Teilaufgaben weiterhelfen??
zu 1: wollte den Bruch erweitern sodass ich im Zähler die 3.binom.Formel anwerden kann, dann ist mir aufgefallen dass ich dass garnicht machen kann aufgrund der n-ten wurzel, bzw. machen kann man das schon, nur es bringt mir nicht viel, oder??
zu 2: bin völlig ratlos :-(
zu 3: bin leider auch völlig ratlos :-(
Hoffe jemand von euch kann mir helfen!!!Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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> Existieren folgende Grenzwerte? Wenn ja, welchen Wert haben
> sie?
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> 1. [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[n]{1+x} -1}{x}[/mm]
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> 2. [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|2x-1|-|2x+1|}{x+|x|(1+x)}[/mm]
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> 3. [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x \wurzel{x+1} (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2}[/mm]
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> Hallo Leute,
>
> kann mir jemand bei diesen drei Teilaufgaben
> weiterhelfen??
>
> zu 1: wollte den Bruch erweitern sodass ich im Zähler die
> 3.binom.Formel anwerden kann, dann ist mir aufgefallen dass
> ich dass garnicht machen kann aufgrund der n-ten wurzel,
> bzw. machen kann man das schon, nur es bringt mir nicht
> viel, oder??
>
> zu 2: bin völlig ratlos :-(
>
> zu 3: bin leider auch völlig ratlos :-(
>
> Hoffe jemand von euch kann mir helfen!!!Viele liebe Grüße,
> der mathedepp_No.1
Hallo,
zur 2. kann man zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert.
Nimm dazu zwei verschiedene Folgen [mm] (x_{n}) [/mm] und [mm] (y_{n}), [/mm] die
beide gegen 0 konvergieren, [mm] f(x_{n}) [/mm] und [mm] f(y_{n}) [/mm] aber gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren oder divergieren.
Gruß
schachuzipus
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Wie Müssten diese beiden Folgen denn aussehen???
Komm irgendwie auf keine passende....:-(
viele Grüße, mathedepp_No.1
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Moin nochmal,
nun, da du Nullfolgen brauchst, bietet es sich an, zwei (Null-)Folgen zu nehmen, die von verschiedenen Seiten an 0 rankommen, also eine mit durchweg positiven Gliedern, die andere mit negativen.
Die setzt du dann in diesen Hammerterm ein und siehst, dass da verschiedene Sachen rauskommen;)
Gruß
schachuzipus
Ach noch ein Tipp zur 1.)
du kannst die Formel für die endliche geometrische Reihe mal nehmen und sie an die Aufgabe anzupassen versuchen:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} q^k [/mm] = [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathedepp!
Hier ein Lösungsansatz ohne diese Folgen ...
Für die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ bewegen wir uns im unmittelbaren Bereich des Wertes [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ , so dass wir sagen können:
$|2x-1| \ = \ -(2x-1) \ = \ -2x+1$ sowie $|2x+1| \ = \ +(2x+1) \ = \ 2x+1$
Damit erhalten wir für die Funktion in der Nähe von $x \ [mm] \approx [/mm] \ 0$ :
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{-2x+1-(2x+1)}{x+|x|*(1+x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-4x}{x+|x|*(1+x)}$
[/mm]
Und nun die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) ermitteln:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{-4x}{x+|x|*(1+x)}\ [/mm] = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{-4x}{x+(\red{-x})*(1+x)} [/mm] \ = \ ...$
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{-4x}{x+|x|*(1+x)}\ [/mm] = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{-4x}{x+(\red{+x})*(1+x)} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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ok, hab das jetzt gemacht, wie du's mir vorgeschlage hast.
Komme zu dem ergebnis, wenn ich von oben nach 0 gehe bekomme ich als grenzwert -2 raus, komme ich von unten nach 0 so entsteht der term [mm] \bruch{4}{x} [/mm] von dem weiß ich das der Grenzwert nicht existiert...
reicht das jetzt um sagen zu können der der Grenzwert nicht existiert???
Viele GRüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe_depp!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe_depp!
Darfst Du denn mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten? Dann sollte die 1. Aufgabe schnell gemacht sein.
Bei der 3. Aufgabe sehe ich überhaupt kein Problem ... schließlich erhalte ich hier durch Einsetzen des Werte [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x* \wurzel{x+1}* (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2} \ = \ \bruch{0* \wurzel{0+1} *(1- \wurzel{2*0+3})}{7-6*0+4*0^2} \ = \ \bruch{0*1*(1- \wurzel{3})}{7} \ = \ 0[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x* \wurzel{x+1}* (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2} \ = \ \bruch{0* \wurzel{0+1} *(1- \wurzel{2*0+3})}{7-6*0+4*0^2} \ = \ \bruch{0*1*(1- \wurzel{3})}{7} \ = \ 0[/mm]
mir ist da ein kleiner Tippfehler in der Aufgabe 3 passiert. Es muss heißen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x* \wurzel{x+1}* (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2}
[/mm]
wie geht ich da denn jetzt vor???
zu 1) haben de l'Hopital leider noch nicht in der VL gehabt, also dürfte ich den eigentlich auch nicht anwenden...wie könnt ich's denn anders lösen, ja mit l'hopital ist's schnell gemacht....
Vleie Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe_depp!
Klammere aus [mm] $\wurzel{x+1}$ [/mm] bzw. [mm] $1-\wurzel{2x+3}$ [/mm] jeweils den Term [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] aus.
Im Nenner dann [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern. Nach dem Kürzen kannst Du dann die entsprechende Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen.
Gruß
Loddar
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ok loddar hab ich gemacht, und komme dann als Grenzwert für x [mm] \to \infty [/mm] auf [mm] \bruch{-1}{2 \wurzel{2}}.
[/mm]
Lieg ich richtig???...viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe_depp!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das habe ich auch! Diesen Term aber bitte noch rational machen ...
Gruß
Loddar
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> Hallo Loddar,
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> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x* \wurzel{x+1}* (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2} \ = \ \bruch{0* \wurzel{0+1} *(1- \wurzel{2*0+3})}{7-6*0+4*0^2} \ = \ \bruch{0*1*(1- \wurzel{3})}{7} \ = \ 0[/mm]
>
> mir ist da ein kleiner Tippfehler in der Aufgabe 3
> passiert. Es muss heißen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x* \wurzel{x+1}* (1- \wurzel{2x+3})}{7-6x+4x^2}[/mm]
>
> wie geht ich da denn jetzt vor???
>
> zu 1) haben de l'Hopital leider noch nicht in der VL
> gehabt, also dürfte ich den eigentlich auch nicht
> anwenden...wie könnt ich's denn anders lösen, ja mit
> l'hopital ist's schnell gemacht....
>
> Vleie Grüße, mathedepp_No.1
Nimm die endliche geometrische Reihe (s.o.) mit
q = [mm] \wurzel[n]{1+x}
[/mm]
Dann forme das Teil so um, dass du [mm] \wurzel[n]{1+x} [/mm] in dem Ursprungsterm, dessen limes du bestimmen sollst, ersetzen kannst.
Dann kürzt sich das x raus und du hast [mm] \bruch{1}{\summe_{k=0}^{n-1}\wurzel[n]{1+x}}
[/mm]
Das kannst du gefahrlos gegen 0 laufen lassen.
Gruß
schachuzipus
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