Grenzwert von Reihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 13.10.2013 | | Autor: | Aegon |
| Aufgabe | | Bestimme den Grenzwert [mm] \lim_{x->1^-}{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n*e^{int}}{n}}} [/mm] für [mm] t \in (0, 2\pi)[/mm]. |
Ich habe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{e^{int}}{n}[/mm] betrachtet.
Mit [mm]e^{it}=z, |z|=1,z\not= 1[/mm] komme ich auf [mm] \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^n}{n} = -\ln({1-z})= - \ln({1-e^{it}) [/mm] für [mm]-1 \leq z < 1[/mm]. Ist das soweit richtig und muss ich hier für den Grenzwert noch etwas zusätzliches beachten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
der Grenzwert ist korrekt.
Über die Form der Darstellung kann man wie immer streiten ;)
Ergebnis ist aber ok.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 13.10.2013 | | Autor: | Aegon |
Danke für die schnelle Antwort :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Aegon,
ich fühle mich weder kompetent genug, deine Lösung als Ganzes beurteilen zu können, noch die Aufgabe selbst zu lösen. Dennoch möchte ich meinen Senf dazugeben:
> Bestimme den Grenzwert
> [mm]\lim_{x->1^-}{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n*e^{int}}{n}}}[/mm]
> für [mm]t \in (0, 2\pi)[/mm].
> Ich habe
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{e^{int}}{n}[/mm] betrachtet.
Du willst also zeigen, dass die entsprechende Reihe für $x=1$ konvergiert und deren Grenzwert bestimmen. Warum folgt jetzt die Existenz des Limes aus der Aufgabenstellung und seine Übereinstimmung mit dem Grenzwert der Reihe für $x=1$?
> Mit [mm]e^{it}=z, |z|=1,z\not= 1[/mm] komme ich auf
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^n}{n} = -\ln({1-z})= - \ln({1-e^{it})[/mm]
Offenbar nutzt du hier ein dir bereits bekanntes Resultat. Gilt es auch für nicht reelles $z$? (Insbesondere: Habt ihr irgendwie [mm] $\ln$ [/mm] auf ganz [mm] $\IC\setminus\{0\}$ [/mm] fortgesetzt?)
> für [mm]-1 \leq z < 1[/mm].
$z$ ist doch im Allgemeinen nicht reell. Also macht die Aussage [mm] $-1\leq [/mm] z<1$ keinen Sinn.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 So 13.10.2013 | | Autor: | Aegon |
> > Bestimme den Grenzwert
> > [mm]\lim_{x->1^-}{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n*e^{int}}{n}}}[/mm]
> > für [mm]t \in (0, 2\pi)[/mm].
> > Ich habe
> > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{e^{int}}{n}[/mm] betrachtet.
> Du willst also zeigen, dass die entsprechende Reihe für
> [mm]x=1[/mm] konvergiert und deren Grenzwert bestimmen. Warum folgt
> jetzt die Existenz des Limes aus der Aufgabenstellung und
> seine Übereinstimmung mit dem Grenzwert der Reihe für
> [mm]x=1[/mm]?
Mit [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n*e^{int}}{n}}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(x*e^{it})^{n}}{n}}}[/mm] wird [mm]x[/mm] mehr oder weniger zu einem Koeffizienten.
> > Mit [mm]e^{it}=z, |z|=1,z\not= 1[/mm] komme ich auf
> > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^n}{n} = -\ln({1-z})= - \ln({1-e^{it})[/mm]
>
> Offenbar nutzt du hier ein dir bereits bekanntes Resultat.
> Gilt es auch für nicht reelles [mm]z[/mm]? (Insbesondere: Habt ihr
> irgendwie [mm]\ln[/mm] auf ganz [mm]\IC[/mm] fortgesetzt?)
>
> > für [mm]-1 \leq z < 1[/mm].
> [mm]z[/mm] ist doch im Allgemeinen nicht
> reell. Also macht die Aussage [mm]-1\leq z<1[/mm] keinen Sinn.
>
Ich möchte hier die Reihenentwicklung des ln verwenden, die man mit Ableiten und der geometrischen Reihe herleiten kann. Diese Schritte müssten auch für komplexe Zahlen möglich sein. Vllt wäre hier [mm]|z|< 1 [/mm] besser?
Danke für die Anmerkungen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:51 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Ich habe mich in der Zwischenzeit ein wenig schlau gemacht (oder besser gesagt: Wissenslücken gestopft). Jetzt kann ich zumindest die Aufgabe selbst lösen.
Die Potenzreihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch1ny^n$ [/mm] hat den Konvergenzradius 1.
Über das Konvergenzverhalten dieser Reihe auf dem Rand des Konvergenzkreises (außer in $y=1$ und $y=-1$) weiß ich hingegen nichts.
Es folgt: Für alle reellen Zahlen $x$ mit $|x|<1$ konvergiert die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch1n(e^{it}x)^n$.
[/mm]
Ob die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch1n e^{itn}$ [/mm] konvergiert, weiß ich hingegen (außer im Falle [mm] $t=\pi$) [/mm] nicht.
> > > Bestimme den Grenzwert
> > > [mm]\lim_{x->1^-}{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n*e^{int}}{n}}}[/mm]
> > > für [mm]t \in (0, 2\pi)[/mm].
> > > Ich habe
> > > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{e^{int}}{n}[/mm] betrachtet.
> > Du willst also zeigen, dass die entsprechende Reihe
> für
> > [mm]x=1[/mm] konvergiert und deren Grenzwert bestimmen. Warum folgt
> > jetzt die Existenz des Limes aus der Aufgabenstellung und
> > seine Übereinstimmung mit dem Grenzwert der Reihe für
> > [mm]x=1[/mm]?
>
> Mit [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n*e^{int}}{n}}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(x*e^{it})^{n}}{n}}}[/mm]
> wird [mm]x[/mm] mehr oder weniger zu einem Koeffizienten.
Das erscheint mir keine Begründung zu sein. Ich weiß nicht, was ein "mehr oder weniger Koeffizient" ist und wie daraus das Gewünschte folgen soll.
> > > Mit [mm]e^{it}=z, |z|=1,z\not= 1[/mm] komme ich auf
> > > [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^n}{n} = -\ln({1-z})= - \ln({1-e^{it})[/mm]
>
> >
> > Offenbar nutzt du hier ein dir bereits bekanntes Resultat.
> > Gilt es auch für nicht reelles [mm]z[/mm]? (Insbesondere: Habt ihr
> > irgendwie [mm]\ln[/mm] auf ganz [mm]\IC[/mm] fortgesetzt?)
> >
> > > für [mm]-1 \leq z < 1[/mm].
> > [mm]z[/mm] ist doch im Allgemeinen nicht
> > reell. Also macht die Aussage [mm]-1\leq z<1[/mm] keinen Sinn.
> >
> Ich möchte hier die Reihenentwicklung des ln verwenden,
> die man mit Ableiten und der geometrischen Reihe herleiten
> kann. Diese Schritte müssten auch für komplexe Zahlen
> möglich sein. Vllt wäre hier [mm]|z|< 1[/mm] besser?
Man kann mit [mm] $\ln$ [/mm] den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnen. Für ihn gilt in der Tat
[mm] $-\ln(1-y)=\summe_{n=1}^\infty\bruch1ny^n$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IC$ [/mm] mit $|y|<1$.
Einfach $|z|<1$ anzunehmen, geht natürlich bei deiner Wahl von $z$ nicht; es gilt ja nun mal $|z|=1$.
Aber für alle reellen Zahlen $x$ mit $|x|<1$ ist [mm] $|e^{it}x|<1$.
[/mm]
Somit gilt für solches $x$
[mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch1n(e^{it}x)^n=-\ln(1-e^{it}x)$.
[/mm]
Um nun den Limes aus der Aufgabenstellung zu berechnen, beachte die Stetigkeit von [mm] $f\colon(-1,1]\to\IC,\;f(x)=-\ln(1-e^{it}x)$ [/mm] an der Stelle $x=1$. (Achtung: Der Hauptzweig des Logarithmus ist nicht überall stetig!) Die Abbildung $f$ ist auch an der Stelle $x=1$ wohldefiniert, da [mm] $1-e^{it}\not=0$ [/mm] (wegen [mm] $t\in(0,2\pi)$).[/mm]
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