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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-1^k+4}{5^k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^k}{7^{k-1}} [/mm] |
Leider habe ich noch keine Aufgabe zu den Grenzwerten gerechnet, berechne ich die Grenzwerte hier durch die Grenzwertsätze? Also hier durch die Quotientenfolge. Ich wäre sehr dankbar für einen Tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Kennst Du die geometrische Reihe und ihren Reihenwert (im Konvergenzfall) ?
Schreib das mal auf und versuche das auf Deine Reihen anzuwenden
FRED
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Also wenn du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} a_{0} *q^k [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}}{1-q} [/mm] meinste dann kenne ich sie.
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Hey!
Genau damit kommst du zum Ziel:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\red{(}-1\red{)}^k+4}{5^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left( \bruch{(-1)^k}{5^k}+\frac{4}{5^k} \right) =\summe_{k=1}^{\infty}\left( \left( \bruch{-1}{5}\right) ^k+4*\left( \frac{1}{5}\right) ^k \right)$
[/mm]
Nun noch die Summe auseinanderziehen und dann die geometrische Reihe anweden.
Die zweite Reihe folgt dann so ähnlich.
Gruß Patrick
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was meinst du denn mit Summe auseinanderziehen? wie mache ich das denn bei der 2. Summe ich verstehe nicht wie ich das [mm] 7^{k-1} [/mm] ausklammern kann. steht da dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{3}{7^{1-1}})^{k}
[/mm]
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Hallo wasistmathe,
> was meinst du denn mit Summe auseinanderziehen?
beide geometrischen "Teilreihen" sind absolut konvergent, also [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left( \bruch{-1}{5}\right) [/mm] ^k$ und [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}4\cdot{}\left( \frac{1}{5}\right) [/mm] ^k$
Du kannst also die Summe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left( \left( \bruch{-1}{5}\right) ^k+4\cdot{}\left( \frac{1}{5}\right) ^k \right)$ [/mm] getrennt schreiben und die Grenzwerte der beiden geometrischen Teilreihen berechnen und dann addieren, achte aber darauf, dass sie hier beide bei $k=1$ starten, nicht wie üblich bei $k=0$. Das musst du berücksichtigen bei der Berechnung
> wie mache
> ich das denn bei der 2. Summe ich verstehe nicht wie ich
> das [mm]7^{k-1}[/mm] ausklammern kann. steht da dann
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{3}{7^{1-1}})^{k}[/mm]
Du kannst doch [mm] $\frac{3^k}{7^{k-1}}$ [/mm] schreiben als [mm] $7\cdot{}\frac{3^k}{7^k}=7\cdot{}\left(\frac{3}{7}\right)^k$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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Ok, das verstehe ich jetzt einigermaßen aber könnte mir vieleicht noch einer erklären wie ich dann genau den Grenzwert erhalte?also wie setze ich das unendlich ein? das wäre prima
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo wasistmathe!
Du hast doch oben in Deinem Artikel bereits selber die entsprechende Formel genannt.
Und in dieser Formel ist durch die entsprechende Grenzwertbetrachtung das [mm] $\infty$ [/mm] bereits berücksichtigt.
Gruß
Loddar
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Ja stimmt, aber wie verändere ich diese Formel wenn ich k= 1 habe? Stimmt dann trotzdem:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{1+1/5} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{4}{1-1/5}
[/mm]
und bei dem zweiten:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{7}{1-3/7}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.warum schreibst du da noch Summen? die sind falsch.
wenn du die Summe von 0 bis irgenwo kennst und die Summe von 1 bis irgendwo brauchst, was machst du dann?
Gruss leduart
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Ja irgendwie muss ich ja die Summe für k= 0 abziehen aber wie mache ich das denn?
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Hallo nochmal,
> Ja irgendwie muss ich ja die Summe für k= 0 abziehen aber
> wie mache ich das denn?
Ja, was ist denn jeweils der Summand für k=0?
[mm] $(blabla)^0=...$
[/mm]
Das musst du halt wieder abziehen ...
Mache einfach mal ...
LG
schachuzipus
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[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{1+1/5} -(\bruch{-1}{5})^0 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{4}{1-1/5} [/mm] - [mm] (4*\bruch{1}{5})^0 [/mm]
stimmt das so oder stehe ich gerade total auf dem schlauch?
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Hallo nochmal,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{1+1/5} -(\bruch{-1}{5})^0[/mm]+ [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{4}{1-1/5}[/mm] -[mm](4*\bruch{1}{5})^0[/mm]
> stimmt das so oder stehe ich gerade total auf dem schlauch?
Ja, wo müssen die Summen loslaufen, wenn du es so schreibst?
Hier hast du doch nur die Ausgangsreihen verändert und 1 bzw. 4 abgezogen, die (Reihen)Werte sind nicht mehr die der Ausgangsreihen!
LG
schachuzipus
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wenn ich es so schreibe müssen die summen bei 0 los laufen. wie würdest du es denn schreiben? 
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Hallo nochmal,
> wenn ich es so schreibe müssen die summen bei 0 los laufen.
Aha!
> wie würdest du es denn schreiben?
So, wie du es jetzt hier sagst ![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]") Und klammern würde ich setzen um die Reihen, damit klar ist, dass du nicht bei jedem Summanden 1 (bzw, 4) abziehst, sondern nur einmal
Dann berechne nun mal die Reihenwerte, du hast ja alles beisammen ...
LG
schachuzipus
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aber ich dachte man dürfte da gar keine Summen mehr schreiben?
wäre es deiner meinung nach dann so richtig? und wie bekomme ich da dann die ergebnisse raus?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{1+1/5}) -(\bruch{-1}{5})^0 [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{4}{1-1/5}) [/mm] - [mm] (4\cdot{}\bruch{1}{5})^0 [/mm]
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Hallo nochmal,
ja, da ist noch ewas durcheinander, ich hatte ´nicht genau genug gelesen, was du geschrieben hattest in dem anderen post - Asche über mein Haupt.
Also
Es ist [mm] $\sum\limits^{\infty}_{\red{k=0}}\left(-\frac{1}{5}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{5}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \frac{5}{6}$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits^{\infty}_{\red{k=1}}\left(-\frac{1}{5}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(\sum\limits^{\infty}_{\red{k=0}}\left(-\frac{1}{5}\right)^k\right) [/mm] \ - \ 1 \ = \ [mm] \frac{5}{6}-1 [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{6}$
[/mm]
genauso mit der anderen Summe
LG
schachuzipus
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Ja stimmt, du hast mir sehr weitergeholfen. danke
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