Grenzwert von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 21.07.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Konvergenz von Reihen.
Bei gegebenen Reihen kann ich zum Beispiel durch das Quotientenkriterium testen, ob die Reihe konvergent ist oder nicht. Über den grenzwert kann ich hier ja noch keine Aussage machen.
In meinem Skript steht nun folgendes:
"Ist in einer Umgebung von [mm] x=x_{0} [/mm] das Quotientenkriterium für eine Funktionenreihe mit stetig differenzierbarem [mm] \delta(x) [/mm] erfüllt, so kann diese gliedweise differenziert und integriert werden z.B.
Berechnung der Summe s(x) der Reihe:
s(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k*x^{k}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{s(x)}{x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty} k*x^{k-1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] +c
[mm] \bruch{s(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
[mm] s(x)=\bruch{x}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Nun zu den Fragen:
- Kann ich nun den Grenzwert einer Reihe bestimmen, indem ich beide Seiten integriere ?
- Woher kommt das Quadrat bei [mm] \bruch{s(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm] das ist mir überhaupt nicht klar
VIELEN DANK für die Hilfe !!
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> Hallo,
> ich habe eine Frage zur Konvergenz von Reihen.
>
> Bei gegebenen Reihen kann ich zum Beispiel durch das
> Quotientenkriterium testen, ob die Reihe konvergent ist
> oder nicht. Über den grenzwert kann ich hier ja noch keine
> Aussage machen.
>
> In meinem Skript steht nun folgendes:
> "Ist in einer Umgebung von [mm]x=x_{0}[/mm] das Quotientenkriterium
> für eine Funktionenreihe mit stetig differenzierbarem
> [mm]\delta(x)[/mm] erfüllt, so kann diese gliedweise differenziert
> und integriert werden z.B.
>
> Berechnung der Summe s(x) der Reihe:
> s(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k*x^{k}[/mm]
hier stört ja der vorfaktor k, ansonsten wärs ja eine geometrische reihe!
um das weg zu bekommen bedient man sich eines tricks: ausklammern eines x:
[mm] s(x)=x*\underbrace{\summe_{k=1}^{\infty} k*x^{k-1}}_{=f(x)}=x*f(x)
[/mm]
dieses f(x) integriert man nun, das k verschwindet, und den grenzwert kann man durch die geometrische reihe bestimmen:
[mm] F(x)=\integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty} k*x^{k-1}}=\summe_{k=1}^{\infty} \frac{k}{\red{k}}*x^{k-1\red{+1}}+c=\summe_{k=1}^{\infty}x^{k}+c=\frac{1}{1-x}+c [/mm] nun haben wir die explizite form bzw. grenzwert von F(x), wir müssen nun aber wieder auf f(x) durch differenzieren:
[mm] F'(x)=(\frac{1}{1-x}+c)'=\frac{1}{(1-x)^2}=f(x)
[/mm]
die ausgangsformel war aber s(x)=x*f(x), also letzte gleichung noch mit x multiplizieren:
[mm] s(x)=f(x)*x=\frac{x}{(1-x)^2}
[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{s(x)}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty} k*x^{k-1} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] +c
>
> [mm]\bruch{s(x)}{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> [mm]s(x)=\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> Nun zu den Fragen:
> - Kann ich nun den Grenzwert einer Reihe bestimmen, indem
> ich beide Seiten integriere ?
die frage verstehe ich nicht ganz, evtl klärt sich die ja durch die antwort
> - Woher kommt das Quadrat bei [mm]\bruch{s(x)}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm] das ist mir überhaupt nicht klar
siehe differenzieren vorletzter schritt 
>
> VIELEN DANK für die Hilfe !!
mfg tee
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