Grenzwert von Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1^2}{k^3}+\frac{1^2}{k^3}+...´+\frac{k^2}{k^3}\right)[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow0}\left(1+sin(x)\right)^{\frac{1}{2x}}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow1}\frac{1-\frac{1}{x^3}}{x\cdot{}cos(x\cdot{}\frac{\pi}{2})}[/mm] |
Hallo,
der Hauptgrund weshalb ich dieses Thread eröffne ist die Aufgabe 1. Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, ich habe es soerst als Summe hingeschrieben und nachher in Produkte umgewandelt. Aber meine Variante gerät nachher ins Schwanken, ansich mit Summen habe ich auch wenig gearbeitet.
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1^2}{k^3}+\frac{1^2}{k^3}+...´+\frac{k^2}{k^3}\right)=
\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\frac{n^2}{k^3}=
\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\summe_{n=1}^{k}\frac{n}{k}\cdot{}\summe_{n=1}^{k}\frac{n}{k}\cdot{}\summe_{n=1}^{k}\frac{1}{k}\right)
=\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{k\cdot{}(k+1)}{2k}\cdot{}\frac{k\cdot{}(k+1)}{2k}\cdot{}\frac{k}{k}\right)
=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{(k+1)^2}{4}[/mm]
Das geht gegen [mm] \infty [/mm] ... . Entweder ist mein Ansatz oder nachher irgendwas in der Bearbeitung falsch.
Mir ist bewusst das die beiden anderen Aufgaben nicht dazu passen, trotzdem habe ich sie mal zur Sicherheit hier eingefügt, für den Fall das ich sie falsch haben sollte oder sonst irgendwas zu bemängeln ist:
Die Aufgabe 2 glaube ich erfolgreich gelöst zu haben:
[mm]\limes_{x\rightarrow0}\left(1+sin(x)\right)^{\frac{1}{2x}}=\limes_{x\rightarrow0}e^{\frac{1}{2x}\cdot{}ln(1+sin(x))[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+sin(x))}{2x}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{cos(x)}{2\cdot{}(1+sin(x))} = \frac{1}{2}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow0}\left(1+sin(x)\right)^{\frac{1}{2x}}=e^{\frac{1}{2}}[/mm]
Genauso wie Aufgabe 3:
[mm]\limes_{x\rightarrow1}\frac{1-\frac{1}{x^3}}{x\cdot{}cos(x\cdot{}\frac{\pi}{2})}=\limes_{x\rightarrow1}\frac{3}{x^4\cdot{}\left(cos(x\cdot{}\frac{\pi}{2})+x\cdot{}sin(x\frac{\pi}{2})\right)}=-3[/mm]
Wie gehe ich am besten bei Aufgabe 1 vor?
Schönen Gruß
Lyrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1^2}{k^3}+\frac{1^2}{k^3}+...´+\frac{k^2}{k^3}\right)=
\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\frac{n^2}{k^3}=
\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\summe_{n=1}^{k}\frac{n}{k}\cdot{}\summe_{n=1}^{k}\frac{n}{k}\cdot{}\summe_{n=1}^{k}\frac{1}{k}\right)
=...[/mm]
Deine Aufteilung in ein Produkt aus 3 Einzelreihen ist nicht korrekt.
[mm] $$\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1^2}{k^3}+\frac{1^2}{k^3}+...+\frac{k^2}{k^3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\frac{n^2}{k^3} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{k^3}*\blue{\summe_{n=1}^{k}n^2}\right)$$
[/mm]
Für den blauen Ausdruck wird nun eine ![[]](/images/popup.gif) (fertige) Formel eingesetzt:
[mm] $$\summe_{n=1}^{k}n^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k*(k+1)*(2*k+1)}{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Diese Aufgabe hast Du korrekt gelöst.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Prinzipiell machst Du es richtig. Allerdings machst Du einen Fehler bei der Ableitung von [mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{2}*x\right)$ [/mm] .
Zum einen: die Ableitung von [mm] $\cos(...)$ [/mm] lautet [mm] $\red{-}\sin(...)$ [/mm] .
Zudem hast Du die innere Ableitung gemäß  Kettenregel vergessen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
danke das du mir so oft unter die Arme greifst.
Aufgabe 1:
[mm]
\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\frac{1^2}{k^3}+\frac{1^2}{k^3}+...+\frac{k^2}{k^3}\right) \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\frac{n^2}{k^3} \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{k^3}\cdot{}\summe_{n=1}^{k}n^2}\right)=\ \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{k^3}\cdot{}\bruch{k\cdot{}(k+1)\cdot{}(2\cdot{}k+1)}{6}\right)=
\ \limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2k^3+3k^2+k}{6k^3}=\frac{1}{3}[/mm]
Aufgabe 2:
[mm]
\limes_{x\rightarrow1}\frac{1-\frac{1}{x^3}}{x\cdot{}\cos(x\cdot{}\frac{\pi}{2})}=\limes_{x\rightarrow1}\frac{3}{x^4\cdot{}\left(\cos(x\cdot{}\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}x\cdot{}\left(-\sin(x\frac{\pi}{2})\right)\right)}=\frac{3}{1\cdot{}(-\frac{\pi}{2})}=-\frac{6}{\pi}[/mm]
Komplett richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
So stimmt es nun ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke Loddar, sehr langsam aber stetig bekomme ich den Bogen raus ... .
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