Grenzwert von x*sin(1/x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen des Grenzwerts:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\sin(1/x) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
habe folgendes problem. Wir haben diesen Grenzwert in der Vorlesung bestimmt, verstehe jedoch den weg nicht..
1.Schritt [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\sin(1/x) [/mm] lim x->0
2. Schritt Sei (Xn) Folge mit Xn>0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Xn=0
[/mm]
3. Schritt [mm] -Xn<=xn*\sin(1/Xn)<=Xn
[/mm]
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[-1,1]
4. Schritt [mm] -0<=\limes_{n\rightarrow\infty}Xn*\sin(1/Xn)<=0
[/mm]
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Xn*\sin(1/Xn)=0
[/mm]
Frage: Warum das ganze??? Ich verstehs auch zum großen teil nicht und komm einfach nicht drauf.
Warum kann ich nicht einfach sagen 1/x gegen unendlich geht, da x ja gegen null geht. und ich somit nicht weiß gegen welchen wert der sinus geht. und des x mit dem es multipliziert wird gegen null geht und somit [mm] 0*\sin(1/x) [/mm] null ergibt... könnte mir des bitte jemand erklären und bitte auch warum er Xn<=---<=... schreibt, damit kann ich überhaupt nichts anfangen....
ps. noch was wichtiges (nicht zu dem bsp), muss man eigenltich immer wenn man einen Grenzwert untersuchen soll, den links und rechtseitigen Grenzwert machen???? oder reicht einer???
Vielen vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 07.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
zunächst mal zu deiner letzten frage... um einen grenzwert zu bestimmten musst du die folgen oder funktionswerte irgendwie eingrenzen... bei folgen arbeitest du mit dem betrag und sagst das der abstand zwischen den folgegliedern und dem grenzwert gegen null geht (du misst also den abstand zwischen grenzwert und folgenwert)... durch den betrag schränkst du also die umgebung um deinen grenzwert ein... also klartext... wenn du nur in eine richtung abschätzt weißt du nicht ob die funktion in der anderen richtung "abhaut".
zu deiner aufgabe.. du wählst mit [mm] x_{n} [/mm] eine positive gegen null konvergierende folge... du weißt das der wert vom sinus egal von welcher zahl in dem intervall [-1, 1] ist... also ist - [mm] x_{n} \le \limes_{x\rightarrow 0}x\cdot{}\sin(1/x) \le x_{n} [/mm] , denn der sinus macht den Wert davor ja höchstens im betrag kleiner... da [mm] x_{n} [/mm] jedoch eine nullfolge ist und deine funktion in dem intervall [mm] [-x_{n} [/mm] , [mm] x_{n} [/mm] ] eingeschlossen ist muss sie gegen null konvergieren da dieses intervall ebenfalls gegen die null konvergert.
schaue gleich noch mal rein wenn es noch eine frage dazu gibt
greets bernhard
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