Grenzwert x gegen x_1 < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Berechnen sie
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x*ln(x) aber von oben gegen 0 |
Moin,
Sitze grad an dieser Aufgabe fest. Und auch hier fehlt mir jeglicher Ansatz. Wir dürfen keine reihen bilden und l'Hospital ist auch verboten.
Könnt ihr bitte einen Ansatz nennen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] x*ln(x) aber von oben gegen 0
>
> Moin,
>
> Sitze grad an dieser Aufgabe fest. Und auch hier fehlt mir
> jeglicher Ansatz. Wir dürfen keine reihen bilden und
> l'Hospital ist auch verboten.
> Könnt ihr bitte einen Ansatz nennen?
[mm] $x*\ln(x)=\bruch{\ln(x)}{1/x}$
[/mm]
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Soweit waren wir auch. Ab da fehlt uns das Auge, entweder kennen wir nicht alle ln Rechenregeln, oder wir erkennen etwas nicht.
Vielleicht noch ein Tipp?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Soweit waren wir auch. Ab da fehlt uns das Auge, entweder
> kennen wir nicht alle ln Rechenregeln, oder wir erkennen
> etwas nicht.
>
> Vielleicht noch ein Tipp?
L'Hospital
FRED
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Ist doch verboten. Es muss auch irgendwie ohne gehen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
> > Soweit waren wir auch. Ab da fehlt uns das Auge, entweder
> > kennen wir nicht alle ln Rechenregeln, oder wir erkennen
> > etwas nicht.
> >
> > Vielleicht noch ein Tipp?
>
> L'Hospital
Genau die Regel darf er ja nicht anwenden...
=> siehe Fragestellung.
>
> FRED
> >
> > Gruß
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Soweit waren wir auch. Ab da fehlt uns das Auge, entweder
> > > kennen wir nicht alle ln Rechenregeln, oder wir erkennen
> > > etwas nicht.
> > >
> > > Vielleicht noch ein Tipp?
> >
> > L'Hospital
>
> Genau die Regel darf er ja nicht anwenden...
> => siehe Fragestellung.
..... wewr lesen kann ist im Vorteil ....
FRED
> >
> > FRED
> > >
> > > Gruß
> >
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> Berechnen sie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] x*ln(x) aber von oben gegen 0
>
> Moin,
>
> Sitze grad an dieser Aufgabe fest. Und auch hier fehlt mir
> jeglicher Ansatz. Wir dürfen keine reihen bilden und
> l'Hospital ist auch verboten.
> Könnt ihr bitte einen Ansatz nennen?
Hallo,
ich vermute, daß Ihr den Grenzwert auf einen bekannten Grenzwert zurückführen sollt.
Guck doch mal, welche Grenzwerte im Zusammnenhang mit e- und ln-Funktion bereits besprochen wurden in der Vorlesung.
LG Angela
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Hallo,
Ja, genau. Unser Prof. hat geraten den Tipp [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^x [/mm] = e, der unter der Aufgabe steht, zu nutzen, aber wir sehen einfach kein Land.
PS: Bei dieser Aufgabe konnte uns niemand aus den Übungen helfen und auch der Prof. selber wollte die Lösung nicht rausrücken. Ist wohl sehr schwer, aber auch Klausurrelevant :). Brauche die Umbedingt.
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> Hallo,
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> Ja, genau. Unser Prof. hat geraten den Tipp
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^x[/mm] = e, der
> unter der Aufgabe steht, zu nutzen, aber wir sehen einfach
> kein Land.
Hallo,
ich versuche es mal.
Wichtiges Vorgeplänkel - ich hoffe, hier ist nichts verkehrt. Sonst funktioniert's nämlich nicht...
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n[/mm] [/mm] = e,
die Folge [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ist streng monoton wachsend.
Für jedes n ist [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] <e,
und damit [mm] [(1+\bruch{1}{n})^n]^n
und somit [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n^2}}>\bruch{1}{e^n}.
[/mm]
Jetzt geht's richtig los:
Zu berechnen ist
[mm] \lim_{x\to 0}x*ln(x) =\lim_{x\to \infty} e^{-x}*ln(e^{-x})=-\lim_{x\to \infty} xe^{-x}=-\lim_{x\to \infty}\bruch{x}{e^x}
[/mm]
Es ist
[mm] |-\lim_{x\to \infty}\bruch{x}{e^x}|
[/mm]
[mm] =\lim_{x\to \infty}\bruch{x}{e^x}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to \infty}\bruch{n}{e^n} [/mm]
[mm] \le \lim_{n\to \infty}\bruch{n}{(1+\bruch{1}{n})^{n^2}} [/mm]
= [mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{n}{\summe_{k=0}^{n^2}\vektor{n^2\\k}(\bruch{1}{n})^k }
[/mm]
[mm] \le \lim_{n\to \infty}\bruch{n}{\vektor{n^2\\0}(\bruch{1}{n})^0 +\vektor{n^2\\1}(\bruch{1}{n})^1+\vektor{n^2\\2}(\bruch{1}{n})^2}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to \infty}\bruch{n}{1+n^2*\bruch{1}{n}+\bruch{n^2*(n^2-1)}{2}*\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to \infty}\bruch{1}{\bruch{1}{n}+n^2*\bruch{1}{n^2}+\bruch{n^2*(n^2-1)}{2}*\bruch{1}{n^3}}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to \infty}\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1+\bruch{(n-\bruch{1}{n})}{2}}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to \infty}\bruch{2}{n+2+\bruch{1}{n}} [/mm]
=0,
also ist [mm] -\lim_{x\to \infty}\bruch{x}{e^x}=0 [/mm] und damit [mm] \lim_{x\to 0}x*ln(x) [/mm] =0
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Do 16.01.2014 | | Autor: | DragoNru |
Waaaaaas...
Vielen Dank, selbst wäre ich niemals drauf gekommen.
Gruß
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