Grenzwert zeigen?! < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei q ∈ (−1,1) und k ∈ Z. Man zeige ,dass [mm]n^k*q^n[/mm] → 0 für n → ∞ gilt. |
Nach den beiden ersten Aufgaben (Grenzwert einer Folge mit Epsilon und Grenzwertbestimmungen mit unterschiedlichen "Tricks") stehe ich jetzt ein wenig auf dem Schlauch. Ein "Trick" fällt mir nicht ins Auge und bei
[mm]|n^k*q^n-0|<\epsilon [/mm] kann ich nicht vernünftig nach n auflösen - oder doch?
Wer hat einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 30.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei q ∈ (−1,1) und k ∈ Z. Man zeige ,dass [mm]n^k*q^n[/mm] →
> 0 für n → ∞ gilt.
die Behauptung ist langweilig für $k [mm] \in \red{-}\,\IN_0$! [/mm] Warum?
> Nach den beiden ersten Aufgaben (Grenzwert einer Folge mit
> Epsilon und Grenzwertbestimmungen mit unterschiedlichen
> "Tricks") stehe ich jetzt ein wenig auf dem Schlauch. Ein
> "Trick" fällt mir nicht ins Auge und bei
> [mm]|n^k*q^n-0|<\epsilon[/mm] kann ich nicht vernünftig nach n
> auflösen - oder doch?
> Wer hat einen Tipp?
Interessant ist also nur der Fall $k [mm] \in \IN:$ [/mm] die Behauptung folgt, wenn man
dann für $|q| [mm] \in [/mm] [0,1)$
[mm] $n^k*|q|^n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$)
[/mm]
beweisen kann.
Sei [mm] $r:=|q|\,,$ [/mm] dann ist $q [mm] \in [/mm] (-1,1)$ genau dann, wenn $|q|=r [mm] \in [0,1)\,.$ [/mm] Folglich
gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit
[mm] $r=1/(1+\epsilon)\,,$
[/mm]
und daher
[mm] $n^k*|q|^n=n^k*r^n=\frac{n^k}{(1+\epsilon)^n}=\frac{n^k}{\sum_{m=0}^n {n \choose m} \epsilon^m}\,.$
[/mm]
Für $n [mm] \ge [/mm] k+1$
[mm] $n^k*|q|^n$ $\le$ $\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}\,.$
[/mm]
Beachte nun
${n [mm] \choose k+1}=\produkt_{m=1}^{k+1}\frac{n+1-m}{m}=\frac{n^{k+1}}{(k+1)!}+\sum_{m=0}^n a_m n^m$
[/mm]
mit geeigneten, von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängigen Konstanten [mm] $a_0,...,a_n\,$ [/mm] (diese dürfen
aber sehr wohl von [mm] $k\,$ [/mm] abhängen und tun sie auch: [mm] $a_0=a_0(k),...,a_n=a_n(k)\,$),
[/mm]
beachte aber, dass nirgends steht, dass die alle nichtnegativ seien!
Gruß,
Marcel
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(Langweilig für n < 0 ist der Beweis, weil dann auch der erste Faktor <1 ist, nicht nur der zweite [mm] (q^n) [/mm] - ja? Diese Erkenntnis sollte ich auch aufschreiben?)
Ja, der erste Ansatz leuchtet ein - und wenn ich das richtig sehe, ist auch nur der binomische Lehrsatz als Reihendarstellung dabei, den wir tatsächlich schon kennen ...
Aber dann:
Für $ n [mm] \ge [/mm] k+1 $
$ [mm] n^k\cdot{}|q|^n [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ [mm] \frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^k}\,. [/mm] $
Wie komme ich von [mm] ${\sum_{m=0}^n {n \choose m} \epsilon^m}\, [/mm] $ auf das oben stehende?
Und was nützt mir diese Ungleichung im weiteren Verlauf?
Die nächste Frage dazu stelle ich, wenn ich den ersten Teil "verdaut" habe.
Danke einstweilen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 30.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, beide Faktoren sind immer größer als null!! Der Fall [mm] $\color{red}k\color{black}\le [/mm] 0$ ist langweilig.
Nun wurde der Bruch größer gemacht,das heißt du musst prüfen, ob der Nenner kleiner gemacht wurde. Ist das hier der Fall?
Das bringt dir folgendes: Du hast eine Majorante gefunden, die im besten Fall gegen 0 konvergiert. Weil deine Ursprungsfolge selbst auch schon immer [mm] $\ge [/mm] 0$ ist, folgt daraus was?
PS: Ein anderer Ansatz ist die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^kq^n [/mm] auf Konvergenz zu untersuchen.
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Sorry ... hatte ich geschrieben kleiner 0?! Das sollte natürlich heißen kleiner 1, wenn die Potenz negativ ist.
Es ist einfach zu spät! Korrigiere ich gleich, damit nicht noch mehr Leute die Hände überm Kopf zusammen schlagen.
Also, was die Beweisidee angeht: wir haben ja gerade erst mit den Folgen angefangen, da kennen wir noch keine Majoranten und auch noch keine Reihen! Und so denke ich, dass wir dies auch nicht verwenden dürfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 So 30.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry ... hatte ich geschrieben kleiner 0?! Das sollte
> natürlich heißen kleiner 1, wenn die Potenz negativ ist.
> Es ist einfach zu spät! Korrigiere ich gleich, damit
> nicht noch mehr Leute die Hände überm Kopf zusammen
> schlagen.
>
> Also, was die Beweisidee angeht: wir haben ja gerade erst
> mit den Folgen angefangen, da kennen wir noch keine
> Majoranten und auch noch keine Reihen! Und so denke ich,
> dass wir dies auch nicht verwenden dürfen.
Reihen brauchst Du auch noch nicht - jedenfalls höchstens bei der
Alternativen, da könnte auch das Wurzelkriterium helfen.
Bei meiner Vorgehensweise wirst Du nur irgendwann begründen müssen,
dass für $c [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $c*\frac{n^k}{n^{k+1}} \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$)
[/mm]
gilt. Abschätzen dürft ihr nämlich natürlich durchaus!
Ich hoffe nur, der bin. Lehrsatz ist schon gelehrt worden...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 30.11.2014 | | Autor: | mathe-assi |
>
> Ich hoffe nur, der bin. Lehrsatz ist schon gelehrt
> worden...
>
>
Jaaa, ist ... das hatte ich zu deiner ersten Antwort ja schon angemerkt ... Morgen versuche ich mich weiter! Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 30.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (Langweilig für n < 0 ist der Beweis, weil dann auch der
> erste Faktor <0 ist, nicht nur der zweite [mm](q^n)[/mm] - ja? Diese
> Erkenntnis sollte ich auch aufschreiben?)
die Langweiligkeit folgt dann, weil für $k [mm] \in -\IN$ [/mm] bei
[mm] $n^k*q^n$
[/mm]
als Produkt zweier Nullfolgen eine Nullfolge dort steht, und für $k=0$ ist
[mm] $n^k*q^n=n^0*q^n=q^n$
[/mm]
sowieso (bekanntlich) eine Nullfolge.
> Ja, der erste Ansatz leuchtet ein - und wenn ich das
> richtig sehe, ist auch nur der binomische Lehrsatz als
> Reihendarstellung dabei, den wir tatsächlich schon kennen
> ...
>
> Aber dann:
> Für [mm]n \ge k+1[/mm]
>
> [mm]n^k\cdot{}|q|^n[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^k}\,.[/mm]
>
>
> Wie komme ich von [mm]{\sum_{m=0}^n {n \choose m} \epsilon^m}\,[/mm]
> auf das oben stehende?
Ich habe nicht mehr gemacht, als ausgenutzt: Für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ und $c > 0$ ist
[mm] $\frac{a}{b+c}$ $\le$ $\frac{a}{c}\,.$
[/mm]
(Sind alle vorkommenden Zahlen nichtnegativ, so wird ein Bruch jedenfalls
nicht kleiner, wenn man im Nenner Summanden entfernt! Kurz, aber etwas
ungenau:
"Verkleinert man den Nenner, so vergrößert sich der Bruch!")
Standard-Abschätzungs-Vorgehensweise!
Nebenbei: Der Beweis dazu ist klar, bzw. er geht etwa so:
$a/(b+c)$ [mm] $\le$ [/mm] $a/c$
[mm] $\iff$ [/mm] $a*c$ [mm] $\le$ [/mm] $a(b+c)$
[mm] $\iff$ [/mm] $ac$ [mm] $\le$ [/mm] $ab+ac$
[mm] $\iff$ [/mm] $0 [mm] \le ab\,.$
[/mm]
Die letzte Ungleichung ist für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ offenbar wahr, also impliziert
sie (man verfolge bei den [mm] $\iff$ [/mm] die [mm] $\Longleftarrow$) [/mm] die Behauptung!
Ansonsten hat Teufel eigentlich alles gesagt (und eine interessante
Alternative erwähnt).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen [mm] a_n:=n^kq^n [/mm] und [mm] b_n:=\wurzel[n]{|a_n|}.
[/mm]
Dann haben wir $ [mm] b_n=(\wurzel[n]{n})^k*|q| \to [/mm] |q|$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Wähle nun $p [mm] \in [/mm] (|q|,1)$. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
0 [mm] \le b_n \le [/mm] p für n>N.
Also: 0 [mm] \le |a_n| \le p^n [/mm] für n>N.
FRED
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Das ist eine höchst interessante Vorgehensweise, die mir auch einleuchtet - mir aber nie eingefallen wäre!!!
Gibt es denn wirklich nichts, das dem Können (naja) und Vorwissen eines Erstsemester angemessen ist?
Beim Ansatz von Marcel scheiterte ich an der Stelle
$ {n [mm] \choose k+1}=\produkt_{m=1}^{k+1}\frac{n+1-m}{m}=\frac{n^{k+1}}{(k+1)!}+\sum_{m=0}^n a_m n^m [/mm] $ ...
bzw. der Überführung von $ [mm] \frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^k}\, [/mm] $ in die Form $ [mm] c\cdot{}\frac{n^k}{n^{k+1}} \to [/mm] 0 $
Diesen Ansatz würde ich aber gern weiter verfolgen. Bitte nochmals um Input.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist eine höchst interessante Vorgehensweise, die mir
> auch einleuchtet - mir aber nie eingefallen wäre!!!
>
> Gibt es denn wirklich nichts, das dem Können (naja) und
> Vorwissen eines Erstsemester angemessen ist?
Fred benötigt [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$, das ist zwar Erstsemestermäßig angemessen,
aber es kann sein, dass ihr das noch nicht hattet.
> Beim Ansatz von Marcel scheiterte ich an der Stelle
> [mm]{n \choose k+1}=\produkt_{m=1}^{k+1}\frac{n+1-m}{m}=\frac{n^{k+1}}{(k+1)!}+\sum_{m=0}^n a_m n^m[/mm]
> ...
>
> bzw. der Überführung von [mm]\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^k}\,[/mm]
> in die Form [mm]c\cdot{}\frac{n^k}{n^{k+1}} \to 0[/mm]
>
> Diesen Ansatz würde ich aber gern weiter verfolgen. Bitte
> nochmals um Input.
Es war doch
$ [mm] n^k\cdot{}|q|^n=n^k\cdot{}r^n=\frac{n^k}{(1+\epsilon)^n}=\frac{n^k}{\sum_{m=0}^n {n \choose m} \epsilon^m}$ $\le$ $\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}$
[/mm]
(rechts hatte ein +1 im Exponenten von [mm] $\epsilon$ [/mm] gefehlt, das habe ich gerade auch
mal korrigiert).
Soweit ist Dir das aber klar, oder?
Damit der Rest klarer wird:
[mm] $\bullet$ [/mm] für [mm] $k=0\,$ [/mm] ist ${n [mm] \choose k+1}=n\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] für [mm] $k=1\,$ [/mm] ist ${n [mm] \choose [/mm] k+1}={n [mm] \choose 2}=\frac{1}{2!}*n*(n-1)=\frac{1}{2!}n^2+...\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] für [mm] $k=2\,$ [/mm] ist ${n [mm] \choose [/mm] k+1}={n [mm] \choose 3}=\frac{1}{3!}*n*(n-1)*(n-2)=\frac{1}{3!}n^3+...\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] für [mm] $k=3\,$ [/mm] ist ${n [mm] \choose [/mm] k+1}={n [mm] \choose 4}=\frac{1}{4!}*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=\frac{1}{4!}n^4+...\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] für [mm] $k=4\,$ [/mm] ist ${n [mm] \choose [/mm] k+1}={n [mm] \choose 5}=\frac{1}{5!}*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)=\frac{1}{5!}n^5+...\,.$
[/mm]
Bei den ... stehen immer "Polynome in n vom Grad [mm] $\le [/mm] k$" - d.h. ${n [mm] \choose [/mm] k+1}$
ist "ein Polynom in [mm] $n\,$ [/mm] vom Grad [mm] $k\,$", [/mm] und wegen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist [mm] $\epsilon^{k+1} [/mm] > 0$
und also ist ${n [mm] \choose k+1}\epsilon^{k+1}$ [/mm] "ein Polynom in [mm] $n\,$ [/mm] vom Grad [mm] $k\,$".
[/mm]
Das als *Motivation*. (Übrigens ist das auch immer ein guter Weg: Wenn man
*beim Allgemeinen* irgendwie ein wenig den Überblick verliert, dann schaut
man sich durchaus mal eine spezielle Situation an. Vielleicht sind die Argumente,
die man dann für den Spezialfall findet, wieder ins Allgemeine übertragbar?
Hier haben wir halt "allgemeine $k [mm] \in \IN$", [/mm] und ich habe oben ein wenig illustriert,
wie das für die ersten [mm] $k=0,\ldots,4$ [/mm] dann speziell aussieht - auch, wenn ich
mir den Fall [mm] $k=0\,$ [/mm] hätte ersparen können...!)
Gruß,
Marcel
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> Fred benötigt [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm], das ist zwar
> Erstsemestermäßig angemessen,
> aber es kann sein, dass ihr das noch nicht hattet.
>
Doch, ich denke schon, aber das fällt doch einem Erstsemester (LA Mathe!) nicht ein, so umzuformen?!
>
> Es war doch
>
> [mm]n^k\cdot{}|q|^n=n^k\cdot{}r^n=\frac{n^k}{(1+\epsilon)^n}=\frac{n^k}{\sum_{m=0}^n {n \choose m} \epsilon^m}[/mm]
> [mm]\le[/mm] [mm]\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}[/mm]
> (rechts
> hatte ein +1 im Exponenten von [mm]\epsilon[/mm] gefehlt, das habe
> ich gerade auch
> mal korrigiert).
>
> Soweit ist Dir das aber klar, oder?
Ja, das war auch einer der Stolpersteine im ersten Ansatz. Jetzt ist das klar.
>
> Damit der Rest klarer wird:
>
> [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=0\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}=n\,.[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=1\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 2}=\frac{1}{2!}*n*(n-1)=\frac{1}{2!}n^2+...\,.[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=2\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 3}=\frac{1}{3!}*n*(n-1)*(n-2)=\frac{1}{3!}n^3+...\,.[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=3\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 4}=\frac{1}{4!}*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=\frac{1}{4!}n^4+...\,.[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=4\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 5}=\frac{1}{5!}*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)=\frac{1}{5!}n^5+...\,.[/mm]
>
> Bei den ... stehen immer "Polynome in n vom Grad [mm]\le k[/mm]" -
> d.h. [mm]{n \choose k+1}[/mm]
> ist "ein Polynom in [mm]n\,[/mm] vom Grad
> [mm]k\,[/mm]", und wegen [mm]\epsilon > 0[/mm] ist [mm]\epsilon^{k+1} > 0[/mm]
> und
> also ist [mm]{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}[/mm] "ein Polynom in [mm]n\,[/mm]
> vom Grad [mm]k\,[/mm]".
>
Das heißt an der Stelle, wo ich Schwierigkeiten mit dem Übergang hatte, steht demnach nicht = sondern $ [mm] \le [/mm] $ ?! Dann werde ich damit wohl vermutlich zum Ziel gelangen.
> Das als *Motivation*. (Übrigens ist das auch immer ein
> guter Weg: Wenn man
> *beim Allgemeinen* irgendwie ein wenig den Überblick
> verliert, dann schaut
> man sich durchaus mal eine spezielle Situation an.
> Vielleicht sind die Argumente,
> die man dann für den Spezialfall findet, wieder ins
> Allgemeine übertragbar?
>
>
Nehme ich mir zu Herzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Fred benötigt [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm], das ist zwar
> > Erstsemestermäßig angemessen,
> > aber es kann sein, dass ihr das noch nicht hattet.
> >
> Doch, ich denke schon, aber das fällt doch einem
> Erstsemester (LA Mathe!) nicht ein, so umzuformen?!
> >
> > Es war doch
> >
> >
> [mm]n^k\cdot{}|q|^n=n^k\cdot{}r^n=\frac{n^k}{(1+\epsilon)^n}=\frac{n^k}{\sum_{m=0}^n {n \choose m} \epsilon^m}[/mm]
> > [mm]\le[/mm] [mm]\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}[/mm]
> > (rechts
> > hatte ein +1 im Exponenten von [mm]\epsilon[/mm] gefehlt, das habe
> > ich gerade auch
> > mal korrigiert).
> >
> > Soweit ist Dir das aber klar, oder?
>
> Ja, das war auch einer der Stolpersteine im ersten Ansatz.
> Jetzt ist das klar.
okay.
> >
> > Damit der Rest klarer wird:
> >
> > [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=0\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}=n\,.[/mm]
> >
> > [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=1\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 2}=\frac{1}{2!}*n*(n-1)=\frac{1}{2!}n^2+...\,.[/mm]
>
> >
> > [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=2\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 3}=\frac{1}{3!}*n*(n-1)*(n-2)=\frac{1}{3!}n^3+...\,.[/mm]
>
> >
> > [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=3\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 4}=\frac{1}{4!}*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=\frac{1}{4!}n^4+...\,.[/mm]
>
> >
> > [mm]\bullet[/mm] für [mm]k=4\,[/mm] ist [mm]{n \choose k+1}={n \choose 5}=\frac{1}{5!}*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)=\frac{1}{5!}n^5+...\,.[/mm]
>
> >
> > Bei den ... stehen immer "Polynome in n vom Grad [mm]\le k[/mm]" -
> > d.h. [mm]{n \choose k+1}[/mm]
> > ist "ein Polynom in [mm]n\,[/mm] vom Grad
> > [mm]k\,[/mm]", und wegen [mm]\epsilon > 0[/mm] ist [mm]\epsilon^{k+1} > 0[/mm]
> >
> und
> > also ist [mm]{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}[/mm] "ein Polynom in [mm]n\,[/mm]
> > vom Grad [mm]k\,[/mm]".
> >
> Das heißt an der Stelle, wo ich Schwierigkeiten mit dem
> Übergang hatte, steht demnach nicht = sondern [mm]\le[/mm] ?!
Das kann ich nur beantworten, wenn Du diese Stelle konkret benennst.
Aber vermutlich wird man an der Stelle - je nach Umformung/Idee - beides
schreiben können. Und wenn [mm] $=\,$ [/mm] geht, geht [mm] $\le$ [/mm] erst recht. Wichtig ist aber,
dass das Resultat weiterhin *passend* wird.
> Dann werde ich damit wohl vermutlich zum Ziel gelangen.
>
> > Das als *Motivation*. (Übrigens ist das auch immer ein
> > guter Weg: Wenn man
> > *beim Allgemeinen* irgendwie ein wenig den Überblick
> > verliert, dann schaut
> > man sich durchaus mal eine spezielle Situation an.
> > Vielleicht sind die Argumente,
> > die man dann für den Spezialfall findet, wieder ins
> > Allgemeine übertragbar?
> >
> >
> Nehme ich mir zu Herzen.
Mach' das wirklich. Dass Du auf obige Idee nicht von selbst gekommen
bist, ist als Erstsemester nicht unüblich. Im Laufe des Studiums wirst Du
aber gewisse Techniken immer wieder brauchen. Und wenn man dann mal
an eine Aufgabe gehen muss, wo man eine *passende Technik nicht direkt
sieht/erahnt*, wirst Du durchaus merken, dass man vielleicht erstmal die
Aufgabe wenigstens *speziell* angucken sollte. Um überhaupt erstmal ein
Gefühl dafür zu bekommen, was eigentlich der Inhalt der Aufgabe ist und
welche Abschätzungen/Umformungen evtl. hilfreich sein könnten.
Dahingehend wird Euer Werkzeugkoffer sich im Laufe der Zeit auch nach
und nach immer mehr füllen, und ihr solltet das Werkzeug nutzen lernen.
Im Studium ist das etwas anders als in der Schule: Man muss nicht nur
lernen, das Werkzeug zu benutzen, man muss auch lernen, zu entscheiden,
wann der Einsatz welches Werkzeuges für die Aufgabe geeignet ist/sein
könnte.
Gruß,
Marcel
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>
> Das kann ich nur beantworten, wenn Du diese Stelle konkret
> benennst.
> Aber vermutlich wird man an der Stelle - je nach
> Umformung/Idee - beides
> schreiben können. Und wenn [mm]=\,[/mm] geht, geht [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
erst recht.
> Wichtig ist aber,
> dass das Resultat weiterhin *passend* wird.
>
Gemeint ist die Stelle
$ \frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^k}\, $, die dann wegen
"ist ein Polynom in $ n\, $ vom Grad
> $ k\, $, und wegen $ \epsilon > 0 $ ist $ \epsilon^{k+1} > 0 $
und
also ist $ {n \choose k+1}\epsilon^{k+1} $ ein Polynom in $ n\, $
vom Grad $ k\, $."
größer als $ {n \choose k+1}\epsilon^{k+1}} $ ist und
damit $ \frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}} $ $\le $ $ c\cdot{}\frac{n^k}{n^{k+1}} $ ??
>
>
> Mach' das wirklich. Dass Du auf obige Idee nicht von selbst
> gekommen
> bist, ist als Erstsemester nicht unüblich. Im Laufe des
> Studiums wirst Du
> aber gewisse Techniken immer wieder brauchen. Und wenn man
> dann mal
> an eine Aufgabe gehen muss, wo man eine *passende Technik
> nicht direkt
> sieht/erahnt*, wirst Du durchaus merken, dass man
> vielleicht erstmal die
> Aufgabe wenigstens *speziell* angucken sollte. Um
> überhaupt erstmal ein
> Gefühl dafür zu bekommen, was eigentlich der Inhalt der
> Aufgabe ist und
> welche Abschätzungen/Umformungen evtl. hilfreich sein
> könnten.
> Dahingehend wird Euer Werkzeugkoffer sich im Laufe der
> Zeit auch nach
> und nach immer mehr füllen, und ihr solltet das Werkzeug
> nutzen lernen.
> Im Studium ist das etwas anders als in der Schule: Man
> muss nicht nur
> lernen, das Werkzeug zu benutzen, man muss auch lernen, zu
> entscheiden,
> wann der Einsatz welches Werkzeuges für die Aufgabe
> geeignet ist/sein
> könnte.
>
Jaja, das ist wahnsinnig schwer für Anfänger, zumal für Lehramtler nicht immer einsichtig, was dies und das mit der späteren Arbeitswelt gemein haben soll. (Damit ist nicht deine beschriebene Vorgehensweise gemeint, sondern diverse Inhalte, wenn wir mit "echten" Mathematikern Vorlesungen hören.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Das kann ich nur beantworten, wenn Du diese Stelle konkret
> > benennst.
> > Aber vermutlich wird man an der Stelle - je nach
> > Umformung/Idee - beides
> > schreiben können. Und wenn [mm]=\,[/mm] geht, geht [mm]\le[/mm] erst
> recht.
> > Wichtig ist aber,
> > dass das Resultat weiterhin *passend* wird.
> >
>
> Gemeint ist die Stelle
>
> [mm]\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^k}\, [/mm], die dann wegen
>
> "ist ein Polynom in [mm]n\,[/mm] vom Grad
> > [mm]k\, [/mm], und wegen [mm]\epsilon > 0[/mm] ist [mm]\epsilon^{k+1} > 0[/mm]
>
> und
> also ist [mm]{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}[/mm] ein Polynom in [mm]n\,[/mm]
> vom Grad [mm]k\, [/mm]."
> größer als [mm]{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}[/mm]
> ist und
>
> damit [mm]\frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}[/mm] [mm]\le[/mm]
> [mm]c\cdot{}\frac{n^k}{n^{k+1}}[/mm] ??
>
>
> >
> >
> > Mach' das wirklich. Dass Du auf obige Idee nicht von selbst
> > gekommen
> > bist, ist als Erstsemester nicht unüblich. Im Laufe
> des
> > Studiums wirst Du
> > aber gewisse Techniken immer wieder brauchen. Und wenn
> man
> > dann mal
> > an eine Aufgabe gehen muss, wo man eine *passende
> Technik
> > nicht direkt
> > sieht/erahnt*, wirst Du durchaus merken, dass man
> > vielleicht erstmal die
> > Aufgabe wenigstens *speziell* angucken sollte. Um
> > überhaupt erstmal ein
> > Gefühl dafür zu bekommen, was eigentlich der Inhalt
> der
> > Aufgabe ist und
> > welche Abschätzungen/Umformungen evtl. hilfreich sein
> > könnten.
> > Dahingehend wird Euer Werkzeugkoffer sich im Laufe der
> > Zeit auch nach
> > und nach immer mehr füllen, und ihr solltet das Werkzeug
> > nutzen lernen.
> > Im Studium ist das etwas anders als in der Schule: Man
> > muss nicht nur
> > lernen, das Werkzeug zu benutzen, man muss auch lernen,
> zu
> > entscheiden,
> > wann der Einsatz welches Werkzeuges für die Aufgabe
> > geeignet ist/sein
> > könnte.
> >
>
> Jaja, das ist wahnsinnig schwer für Anfänger, zumal für
> Lehramtler nicht immer einsichtig, was dies und das mit der
> späteren Arbeitswelt gemein haben soll. (Damit ist nicht
> deine beschriebene Vorgehensweise gemeint, sondern diverse
> Inhalte, wenn wir mit "echten" Mathematikern Vorlesungen
> hören.
nur mal kurz zu dem letzten Kommentar (da ich gerade nicht fitt genug zum
Mitdenken bin):
Ich kann durchaus verstehen, dass man als Lehramtler eigentlich das
Gefühl hat, *zu viel* Mathematik zu machen (wobei ich auch schonmal
erlebt hatte, dass ein Professor eine Lehramtlerin zum Wechsel auf Diplom
überreden wollte).
Und irgendwie denke ich auch, denn ich habe schon Lehramtlern Nachhilfe
gegeben, dass das tatsächlich etwas abgespeckt werden könnte. Andererseits
sollte ein Lehrer ja auch *mehr* als das können, was er in der Schule zu
vermitteln hat - denn er sollte ja durchaus auch in der Lage sein, zu
erkennen, wenn er begabte SchülerInnen hat oder auch SchülerInnen helfen
können, wenn diese Fragen haben, die über den Unterrichtsstoff hinaus
gehen.
Was da ein gesundes Mittelmaß ist, weiß ich nicht. Allerdings kann ich Dir
bei dieser Aufgabe hier sagen, dass wenigstens der erste Ansatz, bei einer
Zahl [mm] $q\,$ [/mm] mit $|q| < 1$ dann $|q|=1/(1+p)$ (mit $p > [mm] 0\,$ [/mm] - okay, ich hatte es bei
Dir [mm] $\epsilon$ [/mm] genannt) zu schreiben, etwas ist, was Lehrer irgendwann auch
können und vermitteln können müss(t)en.
Bei der allgemeinen binomischen Formel wird's schon schwerer: Sie ist nicht
so kompliziert, als dass ein Lehrer sie nicht lernen und verstehen kann.
Andererseits wird sie in dieser Art und Weise in der Schule selten gelehrt,
jedenfalls war's zu meiner Zeit eher so, dass sie zwar mal hingeschrieben,
aber nicht bewiesen wurde.
Und da kommt jetzt der letztgenannte Aspekt: Weil ich eigentlich denke,
dass man von einem Lehrer erwarten dürfen sollte, dass er die Formel
hinschreiben und wenigstens auf Nachfrage auch beweisen können sollte,
finde ich durchaus, dass es gerechtfertigt ist, dass man das als Lehramtler
*mitmachen* muss.
Aber wenn man sich mal anguckt, was Lehrämtler neben der Mathematik
sonst meist noch alles machen müssen, denke ich, dass sich da wirklich
mal jemand hinsetzen sollte und drüber nachdenken, ob man das ein oder
andere Thema nicht vielleicht *abspecken* könnte. Durchaus, indem man
halt guckt: "Was steht auf dem Lehrplan und was ist dahingehend absolut
notwendig für Lehrer?" und "Welche Themen sind eher dafür geeignet, dass
sich jemand *optional* darin vertieft: Aus eigenem Interesse oder weil sich
gerade eine gewisse *Entwicklung* zeigt."
Aber das ist nur meine Ansicht als *Außenstehender, der auch weiß, was
drinnen abgeht*. Da gibt es sicher noch einige andere Meinungen, und
vielleicht kann jemand sogar ganz genau begründen, warum alles, was
Lehramtler jetzt lernen sollen, auch so bleiben sollte. Ich kann's nicht
wirklich, auch, wenn ich der Meinung bin: Besser sie lernen im Studium zu
viel als zu wenig.
Es ist aber meist auch eine andere Motivation, Mathematik zu studieren
als die Motivation, Mathe auf Lehramt zu studieren.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Sa 06.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so) abgegeben hat.
Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für [mm] (an)_n=\wurzel[n]{n^k}"
[/mm]
Und ganz unten 0/4.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Di 16.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Die Lösung von Fred ist aber richtig!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> abgegeben hat.
> Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}"[/mm]
>
> Und ganz unten 0/4.
Dem Vollpfosten, der das korrigiert hat, sollte man nahe legen, zu kündigen !
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > abgegeben hat.
> > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}"[/mm]
> >
> > Und ganz unten 0/4.
>
> Dem Vollpfosten, der das korrigiert hat, sollte man nahe
> legen, zu kündigen !
ich hätte es mit anderen Worten gesagt, aber recht hast Du. Wobei mir
gar nicht klar ist, was da jetzt an welcher Stelle angeblich zu bemängeln
hätte sein sollen (wodrauf bezieht sich dieses "aber nur" denn)?!
Gruß,
Marcel
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> Hi,
>
> > > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > > abgegeben hat.
> > > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k} [/mm] "
> > >
> > > Und ganz unten 0/4.
> >
> > Dem Vollpfosten, der das korrigiert hat, sollte man nahe
> > legen, zu kündigen !
>
> ich hätte es mit anderen Worten gesagt, aber recht hast
> Du. Wobei mir
> gar nicht klar ist, was da jetzt an welcher Stelle
> angeblich zu bemängeln
> hätte sein sollen (wodrauf bezieht sich dieses "aber nur"
> denn)?!
>
Ich nehme an, der Korrektor meint, der Beweis der Nullfolge gälte "nur" für die neu definierte Folge [mm] b_n!
[/mm]
Aber die Korrekturen sind leider oft oberflächlich und zweifelhaft. Wir machen bestimmt viele Fehler. Aber teilweise sind sogar Punkte abgezogen, obwohl die abgegebene Übung identisch ist mit der vorgerechneten Musterlösung.
Ich weiß nur nicht, ob es Sinn macht, sich da "zu streiten".
Jedenfalls werde ich mir die Idee mit der Reihenkonvergenz merken - das ist ja da und dort wirklich leichter zu zeigen, wie ich hier ja ganz deutlich sehe. Und da ich das bisher noch nicht an Bord hatte, finde ich es einfach genial.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hi,
> >
> > > > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > > > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > > > abgegeben hat.
> > > > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > > > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}[/mm] "
> > > >
> > > > Und ganz unten 0/4.
> > >
> > > Dem Vollpfosten, der das korrigiert hat, sollte man nahe
> > > legen, zu kündigen !
> >
> > ich hätte es mit anderen Worten gesagt, aber recht hast
> > Du. Wobei mir
> > gar nicht klar ist, was da jetzt an welcher Stelle
> > angeblich zu bemängeln
> > hätte sein sollen (wodrauf bezieht sich dieses "aber
> nur"
> > denn)?!
> >
> Ich nehme an, der Korrektor meint, der Beweis der Nullfolge
> gälte "nur" für die neu definierte Folge [mm]b_n![/mm]
Die Folge [mm] (b_n) [/mm] ist aber im Falle q [mm] \ne [/mm] 0 keine Nullfolge !
>
> Aber die Korrekturen sind leider oft oberflächlich und
> zweifelhaft. Wir machen bestimmt viele Fehler. Aber
> teilweise sind sogar Punkte abgezogen, obwohl die
> abgegebene Übung identisch ist mit der vorgerechneten
> Musterlösung.
> Ich weiß nur nicht, ob es Sinn macht, sich da "zu
> streiten".
Doch das macht Sinn. 0 Punkte für richtige Lösungen ist Betrug. Wenn der Korrektor das nicht absichtlich macht, so ist sein fachliches Wissen unter aller Sau und er sollte keinesfalls weiter den Korrektor machen.
FRED
>
> Jedenfalls werde ich mir die Idee mit der Reihenkonvergenz
> merken - das ist ja da und dort wirklich leichter zu
> zeigen, wie ich hier ja ganz deutlich sehe. Und da ich das
> bisher noch nicht an Bord hatte, finde ich es einfach
> genial.
>
> > Gruß,
> > Marcel
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Hi,
> > >
> > > > > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > > > > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > > > > abgegeben hat.
> > > > > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur
> für
> > > > > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}[/mm] "
> > > > >
> > > > > Und ganz unten 0/4.
> > > >
> > > > Dem Vollpfosten, der das korrigiert hat, sollte man nahe
> > > > legen, zu kündigen !
> > >
> > > ich hätte es mit anderen Worten gesagt, aber recht hast
> > > Du. Wobei mir
> > > gar nicht klar ist, was da jetzt an welcher Stelle
> > > angeblich zu bemängeln
> > > hätte sein sollen (wodrauf bezieht sich dieses
> "aber
> > nur"
> > > denn)?!
> > >
> > Ich nehme an, der Korrektor meint, der Beweis der Nullfolge
> > gälte "nur" für die neu definierte Folge [mm]b_n![/mm]
>
> Die Folge [mm](b_n)[/mm] ist aber im Falle q [mm]\ne[/mm] 0 keine Nullfolge
also kann der Korrektor auch das nicht meinen, oder er schreibt einfach nur
Unsinn. Übrigens steht das ja auch in Deiner Antwort:
> Dann haben wir $ [mm] b_n=(\wurzel[n]{n})^k\cdot{}|q| \to [/mm] |q| $ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $
@mathe-assi: Ist Dir das klar? Was Du dazu wissen musst: Es gilt
[mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ und $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist ja fest!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi,
> >
> > > > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > > > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > > > abgegeben hat.
> > > > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > > > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}[/mm] "
> > > >
> > > > Und ganz unten 0/4.
> > >
> > > Dem Vollpfosten, der das korrigiert hat, sollte man nahe
> > > legen, zu kündigen !
> >
> > ich hätte es mit anderen Worten gesagt, aber recht hast
> > Du. Wobei mir
> > gar nicht klar ist, was da jetzt an welcher Stelle
> > angeblich zu bemängeln
> > hätte sein sollen (wodrauf bezieht sich dieses "aber
> nur"
> > denn)?!
> >
> Ich nehme an, der Korrektor meint, der Beweis der Nullfolge
> gälte "nur" für die neu definierte Folge [mm]b_n![/mm]
das kann sein. Dann versteht der Korrektor aber den ganzen Beweis nicht,
woraus man folgern kann, dass er sich auch mit Reihen nicht besonders
gut auskennt, und dann fragt man sich, warum er die Stelle innehat!
> Aber die Korrekturen sind leider oft oberflächlich und
> zweifelhaft. Wir machen bestimmt viele Fehler. Aber
> teilweise sind sogar Punkte abgezogen, obwohl die
> abgegebene Übung identisch ist mit der vorgerechneten
> Musterlösung.
> Ich weiß nur nicht, ob es Sinn macht, sich da "zu
> streiten".
Ich war Korrektor, und ich habe nur einmal sogar *Punkte verschenkt*, weil
mir die Lösung nicht ganz klar war, aber ich sie irgendwie auch nicht
widerlegen konnte. Allerdings war das auch in Funktional-Analysis. Bei
meiner Korrektor-Tätigkeit in Analysis kam sowas eigentlich nie vor, und ich
hatte auch nie Beschwerden/Rückfragen erhalten.
Nehmen wir mal an, ich hätte einen Lösungsweg, den ich nicht ganz
verstehe, aber ich weiß halt auch nicht, ob er falsch oder richtig ist. Dann
würde ich dranschreiben: "Das kann ich so nicht nachvollziehen, Du kannst
mir das aber gerne erklären kommen, dann bekommst Du ggf. die Punkte"!
Das ist ja wohl das Mindeste.
Und ja: Ich hätte da gestritten, jedenfalls dann, wenn ich jeden Schritt der
Lösung erklären kann. Notfalls würde ich sogar den Prof. bitten,
drüberzugucken; und sei es nur mit dem Hinweis: "Der Korrektor und ich
sind uns uneinig, aber er kann mir auch nicht genau meinen Fehler erklären.
Können Sie mir den vielleicht sagen?"
Ansonsten hättest Du hier ja sogar Fred (und mich) im Rücken, sofern es
so ist, wie bei Deinem Kommilitonen!
> Jedenfalls werde ich mir die Idee mit der Reihenkonvergenz
> merken - das ist ja da und dort wirklich leichter zu
> zeigen, wie ich hier ja ganz deutlich sehe. Und da ich das
> bisher noch nicht an Bord hatte, finde ich es einfach
> genial.
Naja, der Hintergrund ist der: Wenn man weiß, dass
[mm] $\sum a_n$
[/mm]
konvergiert (und dazu gibt es verschiedene Kriterien), dann muss in
NOTWENDIGER WEISE gelten, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] Nullfolge ist.
Das WK *kommt im Wesentlichen* übrigens wegen der geometrischen
Reihe zustande, und das QK hängt mit dem WK zusammen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> abgegeben hat.
> Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}"[/mm]
>
> Und ganz unten 0/4.
Ich hab noch eine weitere Möglichkeit, zu zeigen, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, wobei
$ [mm] a_n:=n^kq^n [/mm] $.
Diese Lösung zeige bitte dem Idioten, der obiges "korrigiert" hat. Ich bin gespannt, was er dazu sagt:
$ [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=(1+\bruch{1}{n})^k*|q| \to [/mm] |q| $ füt $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Ist nun $p [mm] \in [/mm] (|q|,1)$, so gibt es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit:
(*) $ [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] p$ für $n [mm] \ge [/mm] N$.
Aus (*) folgt induktiv:
[mm] |a_{N+j}| \le p^j*|a_N| [/mm] für alle $j [mm] \in \IN$.
[/mm]
Fazit: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0.
[/mm]
Meine Ideen für meine beiden Lösungen sind alles andere als genial. Vielleicht sieht jemand, aus welchem Dunstkreis ich sie abgekupfert habe ?
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > abgegeben hat.
> > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}"[/mm]
> >
> > Und ganz unten 0/4.
>
> Ich hab noch eine weitere Möglichkeit, zu zeigen, dass
> [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist, wobei
>
> [mm]a_n:=n^kq^n [/mm].
>
> Diese Lösung zeige bitte dem Idioten, der obiges
> "korrigiert" hat. Ich bin gespannt, was er dazu sagt:
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=(1+\bruch{1}{n})^k*|q| \to |q|[/mm] füt
> [mm]n \to \infty[/mm].
>
> Ist nun [mm]p \in (|q|,1)[/mm], so gibt es ein [mm]N \in \IN[/mm] mit:
>
> (*) [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le p[/mm] für [mm]n \ge N[/mm].
>
> Aus (*) folgt induktiv:
>
> [mm]|a_{N+j}| \le p^j*|a_N|[/mm] für alle [mm]j \in \IN[/mm].
>
> Fazit: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0.[/mm]
>
>
> Meine Ideen für meine beiden Lösungen sind alles andere
> als genial. Vielleicht sieht jemand, aus welchem Dunstkreis
> ich sie abgekupfert habe ?
hier: Quotientenkriterium (im Prinzip kann man Deine Ergebnisse
verwenden, um zu sehen, dass die entsprechenden Reihen konvergieren)!
Ohne jetzt nochmal in die andere Lösung reinzublicken: Dort wirst Du
sicher das WK benutzt haben. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > > abgegeben hat.
> > > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}"[/mm]
> > >
> > > Und ganz unten 0/4.
> >
> > Ich hab noch eine weitere Möglichkeit, zu zeigen, dass
> > [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist, wobei
> >
> > [mm]a_n:=n^kq^n [/mm].
> >
> > Diese Lösung zeige bitte dem Idioten, der obiges
> > "korrigiert" hat. Ich bin gespannt, was er dazu sagt:
> >
> > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=(1+\bruch{1}{n})^k*|q| \to |q|[/mm] füt
> > [mm]n \to \infty[/mm].
> >
> > Ist nun [mm]p \in (|q|,1)[/mm], so gibt es ein [mm]N \in \IN[/mm] mit:
> >
> > (*) [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le p[/mm] für [mm]n \ge N[/mm].
> >
> > Aus (*) folgt induktiv:
> >
> > [mm]|a_{N+j}| \le p^j*|a_N|[/mm] für alle [mm]j \in \IN[/mm].
> >
> > Fazit: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0.[/mm]
> >
> >
> > Meine Ideen für meine beiden Lösungen sind alles andere
> > als genial. Vielleicht sieht jemand, aus welchem Dunstkreis
> > ich sie abgekupfert habe ?
>
> hier: Quotientenkriterium
Bingo !
> (im Prinzip kann man Deine
> Ergebnisse
> verwenden, um zu sehen, dass die entsprechenden Reihen
> konvergieren)!
>
> Ohne jetzt nochmal in die andere Lösung reinzublicken:
> Dort wirst Du
> sicher das WK benutzt haben.
Nochmals Bingo !
Sowas mache ich gerne: ist zu zeigen, dass eine Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, so ist es oft einfacher zu zeigen, dass [mm] \sum a_n [/mm] konvergiert.
Noch ein Beispiel: [mm] a_n:=\bruch{(-1)^n}{n}. [/mm]
[mm] \sum a_n [/mm] leipnitzt nach M. Konvergen.
Ich habe fertig !
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > > Diese Lösung fand ich genial, habe sie einem Kommilitonen
> > > > gezeigt, der sie im Rahmen seiner Übung (genau so)
> > > > abgegeben hat.
> > > > Nach Zeile 1 stand dann da in rot " aber nur für
> > > > [mm](an)_n=\wurzel[n]{n^k}"[/mm]
> > > >
> > > > Und ganz unten 0/4.
> > >
> > > Ich hab noch eine weitere Möglichkeit, zu zeigen, dass
> > > [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist, wobei
> > >
> > > [mm]a_n:=n^kq^n [/mm].
> > >
> > > Diese Lösung zeige bitte dem Idioten, der obiges
> > > "korrigiert" hat. Ich bin gespannt, was er dazu sagt:
> > >
> > > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=(1+\bruch{1}{n})^k*|q| \to |q|[/mm] füt
> > > [mm]n \to \infty[/mm].
> > >
> > > Ist nun [mm]p \in (|q|,1)[/mm], so gibt es ein [mm]N \in \IN[/mm] mit:
> > >
> > > (*) [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le p[/mm] für [mm]n \ge N[/mm].
> > >
>
> > > Aus (*) folgt induktiv:
> > >
> > > [mm]|a_{N+j}| \le p^j*|a_N|[/mm] für alle [mm]j \in \IN[/mm].
> > >
> > > Fazit: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0.[/mm]
> > >
> > >
> > > Meine Ideen für meine beiden Lösungen sind alles andere
> > > als genial. Vielleicht sieht jemand, aus welchem Dunstkreis
> > > ich sie abgekupfert habe ?
> >
> > hier: Quotientenkriterium
>
>
> Bingo !
>
> > (im Prinzip kann man Deine
> > Ergebnisse
> > verwenden, um zu sehen, dass die entsprechenden Reihen
> > konvergieren)!
> >
> > Ohne jetzt nochmal in die andere Lösung reinzublicken:
> > Dort wirst Du
> > sicher das WK benutzt haben.
>
> Nochmals Bingo !
>
> Sowas mache ich gerne: ist zu zeigen, dass eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> eine Nullfolge ist, so ist es oft einfacher zu zeigen, dass
> [mm]\sum a_n[/mm] konvergiert.
>
>
> Noch ein Beispiel: [mm]a_n:=\bruch{(-1)^n}{n}.[/mm]
>
> [mm]\sum a_n[/mm] leipnitzt nach M. Konvergen.
mhm, um Leibnitz-Kekse essen zu dürfen, braucht man doch schon, dass
[mm] $(1/n)_n$
[/mm]
monoton gegen Null fällt. Das wäre mir dann doch zu umständlich.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
da wir gerade dabei sind: in meiner Vordiplomprüfung wurde gefragt, warum
[mm] $q^n \to [/mm] 0$ für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt.
Meine Begründung: Das folgt sofort aus der absoluten Konvergenz von
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k\,.$
[/mm]
Welchen Einwand hatte mein Prof. dann wohl? Ich konnte ihn übrigens (erst
im Nachhinein) beheben, allerdings unter Einbringung des Majo.-Kr.!
Gruß,
Marcel
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
you did it your way
