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| Aufgabe | Es soll gezeigt werden
[mm] $\underset{\xi \in \IR}{\forall} \lim_{x \to 0}\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\xi$ [/mm] |
Hallo,
ich benötige etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
Es erscheint mir sinnvoll, die Regel von l'Hospital zu verwenden.
[mm] $\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\bruch{1}{x}\ln(1+\xi x)=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x}$
[/mm]
[mm] $\frac{f(x)}{g(x)}=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x}$
[/mm]
[mm] $u(x)=\ln [/mm] x,$ [mm] $u'(x)=\bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $v(x)=(1+\xi [/mm] x),$ [mm] $v'(x)=\xi$
[/mm]
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi$
[/mm]
$g'(x)=1$
[mm] $\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi}{1}$
[/mm]
Ab hier beginnen die Probleme. Ich habe nach dem obigen Bruch [mm] $\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi}{1}=\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi=\bruch{\xi}{(1+\xi x)}$ [/mm] geschrieben und dann nochmals abgeleitet, sodass dann [mm] $\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{0}{\xi}=0$ [/mm] dasteht.
Hoffe ich konnte es einigermaßen übersichtlich darstellen und es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte wo mein Fehler liegt oder ob es hier generell einen einfacheren Weg gibt.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Es soll gezeigt werden
>
> [mm]\underset{\xi \in \IR}{\forall} \lim_{x \to 0}\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\xi[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich benötige etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
> Es erscheint mir sinnvoll, die Regel von l'Hospital zu
> verwenden.
>
Jo, das könnte klappen
> [mm]\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\bruch{1}{x}\ln(1+\xi x)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, dazu müsste der Exponent in der Klammer stehen, also [mm]\ln\left((1+\xi x)^{\frac{1}{x}}\right)[/mm]
> [mm]=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x}[/mm]
>
> [mm]\frac{f(x)}{g(x)}=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x}[/mm]
>
> [mm]u(x)=\ln x,[/mm] [mm]u'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]v(x)=(1+\xi x),[/mm] [mm]v'(x)=\xi[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi[/mm]
> [mm]g'(x)=1[/mm]
>
> [mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi}{1}[/mm]
>
> Ab hier beginnen die Probleme. Ich habe nach dem obigen
> Bruch [mm]\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi}{1}=\bruch{1}{(1+\xi x)}*\xi=\bruch{\xi}{(1+\xi x)}[/mm]
> geschrieben und dann nochmals abgeleitet, sodass dann
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{0}{\xi}=0[/mm] dasteht.
>
> Hoffe ich konnte es einigermaßen übersichtlich darstellen
> und es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte wo
> mein Fehler liegt oder ob es hier generell einen
> einfacheren Weg gibt.
Nun, ich glaube, folgendes könnte klappen (zumindest geht's schön auf  ):
Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b\ln(a)}[/mm]
Hier also im Argument des [mm]\ln[/mm] :
[mm]\left(1+\xi x\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+\xi x)}{x}}[/mm]
Denn für [mm]x[/mm] hinreichend nahe an 0 ist [mm]1+\xi x>0[/mm]
Nun beachte, dass sowohl [mm]\ln[/mm], als auch [mm]\exp[/mm] stetig sind und untersuche, was der Exponent treibt (de l'Hôpital)
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Es soll gezeigt werden
$ [mm] \underset{\xi \in \IR}{\forall} \lim_{x \to 0}\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\xi [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
> Nun, ich glaube, folgendes könnte klappen (zumindest
> geht's schön auf ):
>
> Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b\ln(a)}[/mm]
>
> Hier also im Argument des [mm]\ln[/mm] :
>
> [mm]\left(1+\xi x\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+\xi x)}{x}}[/mm]
>
> Denn für [mm]x[/mm] hinreichend nahe an 0 ist [mm]1+\xi x>0[/mm]
>
> Nun beachte, dass sowohl [mm]\ln[/mm], als auch [mm]\exp[/mm] stetig sind und
> untersuche, was der Exponent treibt (de l'Hôpital)
Muss man erwähnen, dass $ [mm] \ln [/mm] $ und $ [mm] \exp [/mm] $ stetig sind bzw. welchen Nutzen hat das hier?
Für den Exponenten:
$ [mm] \frac{f(x)}{g(x)}=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x} [/mm] $
$ [mm] u(x)=\ln [/mm] x, $ $ [mm] u'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] $
$ [mm] v(x)=(1+\xi [/mm] x), $ $ [mm] v'(x)=\xi [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi [/mm] $
$ g'(x)=1 $
$ [mm] \frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1} [/mm] $
Hier hänge ich leider wieder...
> Gruß
>
> schachuzipus
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Es soll gezeigt werden
>
> [mm]\underset{\xi \in \IR}{\forall} \lim_{x \to 0}\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\xi[/mm]
>
> Hallo schachuzipus,
>
> > Nun, ich glaube, folgendes könnte klappen (zumindest
> > geht's schön auf ):
> >
> > Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b\ln(a)}[/mm]
> >
> > Hier also im Argument des [mm]\ln[/mm] :
> >
> > [mm]\left(1+\xi x\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+\xi x)}{x}}[/mm]
>
> >
> > Denn für [mm]x[/mm] hinreichend nahe an 0 ist [mm]1+\xi x>0[/mm]
> >
> > Nun beachte, dass sowohl [mm]\ln[/mm], als auch [mm]\exp[/mm] stetig sind und
> > untersuche, was der Exponent treibt (de l'Hôpital)
>
> Muss man erwähnen, dass [mm]\ln[/mm] und [mm]\exp[/mm] stetig sind bzw.
> welchen Nutzen hat das hier?
>
> Für den Exponenten:
>
> [mm]\frac{f(x)}{g(x)}=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x}[/mm]
>
> [mm]u(x)=\ln x,[/mm] [mm]u'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]v(x)=(1+\xi x),[/mm] [mm]v'(x)=\xi[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi[/mm]
> [mm]g'(x)=1[/mm]
>
> [mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}[/mm]
Das ist doch nichts anderes als
[mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}=\bruch{\xi}{1+\xi*x}[/mm]
Bilde jetzt den Grenzwert für [mm]x \to 0[/mm].
>
> Hier hänge ich leider wieder...
>
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Es soll gezeigt werden
$ [mm] \underset{\xi \in \IR}{\forall} \lim_{x \to 0}\ln(1+\xi x)^{\bruch{1}{x}}=\xi [/mm] $ |
Hallo MathePower,
> > > Nun, ich glaube, folgendes könnte klappen (zumindest
> > > geht's schön auf ):
> > >
> > > Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b\ln(a)}[/mm]
> > >
> > > Hier also im Argument des [mm]\ln[/mm] :
> > >
> > > [mm]\left(1+\xi x\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+\xi x)}{x}}[/mm]
>
> > > Denn für [mm]x[/mm] hinreichend nahe an 0 ist [mm]1+\xi x>0[/mm]
> > >
> > > Nun beachte, dass sowohl [mm]\ln[/mm], als auch [mm]\exp[/mm] stetig sind und
> > > untersuche, was der Exponent treibt (de l'Hôpital)
> >
> > Muss man erwähnen, dass [mm]\ln[/mm] und [mm]\exp[/mm] stetig sind bzw.
> > welchen Nutzen hat das hier?
> >
> > Für den Exponenten:
> >
> > [mm]\frac{f(x)}{g(x)}=\bruch{\ln(1+\xi x)}{x}[/mm]
> >
> > [mm]u(x)=\ln x,[/mm] [mm]u'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> > [mm]v(x)=(1+\xi x),[/mm] [mm]v'(x)=\xi[/mm]
> >
> > [mm]f'(x)=\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi[/mm]
> > [mm]g'(x)=1[/mm]
> >
> > [mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}[/mm]
>
>
> Das ist doch nichts anderes als
>
> [mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}=\bruch{\xi}{1+\xi*x}[/mm]
>
> Bilde jetzt den Grenzwert für [mm]x \to 0[/mm].
[mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}=\bruch{\xi}{1+\xi*x}\xrightarrow[x \to 0]{}\xi[/mm]
Also:
$ [mm] \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \xi$
[/mm]
Damit habe ich den Grenzwert des Exponenten bestimmt. Ist die Aufgabe nun erledigt?
> Gruss
> MathePower
Danke für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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Hallo,
ja damit bist du fertig. Denn den logarithmus selbst hast du dabei ja nicht angfasst.
LG
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Hallo nochmal,
> > Das ist doch nichts anderes als
> >
> > [mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}=\bruch{\xi}{1+\xi*x}[/mm]
> >
> > Bilde jetzt den Grenzwert für [mm]x \to 0[/mm].
>
> [mm]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{(1+\xi x)}\cdot{}\xi}{1}=\bruch{\xi}{1+\xi*x}\xrightarrow[x \to 0]{}\xi[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \xi[/mm]
>
>
> Damit habe ich den Grenzwert des Exponenten bestimmt. Ist
> die Aufgabe nun erledigt?
Nicht ganz, genau hier kommt die Stetigkeit der Exponential- und danach der Logarithmusfunktion zum Tragen
[mm]\exp[/mm] stetig bedeutet:
[mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]
Hier hast du erstmal den GW des Exponenten (g(x)) berechnet.
Der ist [mm]\xi[/mm]
Damit strebt der Klammerausdruck (das Argument vom log), also [mm](1+\xi x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+\xi x)}{x}}[/mm] gegen [mm]e^{\xi}>0[/mm]
Nun ist auch der [mm]\ln[/mm] stetig, also strebt das ganze Ding gegen [mm]\ln\left(e^{\xi}\right)=\xi[/mm]
Das solltest du zumindest erwähnen!
LG
schachuzipus
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