Grenzwert zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}}=7 [/mm] |
Hallo,
ich soll zeigen, dass obiges gilt.
also ich habe mehrere zahlen eingesetzt und gesehen, dass der grenzwert tatsächlich 7 ist. allerdings muss ich dies nun für alle n [mm] \in \IN [/mm] beweisen.
wie soll ich vorgehen? wie soll ich anfangen? hat jemand einen tipp für mich?
danke schonmal.
grüße
ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 03.01.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}}=7[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich soll zeigen, dass obiges gilt.
>
> also ich habe mehrere zahlen eingesetzt und gesehen, dass
> der grenzwert tatsächlich 7 ist. allerdings muss ich dies
> nun für alle n [mm]\in \IN[/mm] beweisen.
>
> wie soll ich vorgehen? wie soll ich anfangen? hat jemand
> einen tipp für mich?
Hallo,
klammere [mm] \wurzel[n]{7^{n}}[/mm] aus dem Wurzelterm aus.
Gruß Abakus
>
> danke schonmal.
>
> grüße
> ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok.
Dann steht in der Nebenrechnung:
[mm] \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{7^{n}} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}} [/mm] = ????
Weiter komme ich trotzdem nicht :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok.
>
> Dann steht in der Nebenrechnung:
>
> [mm]\wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{7^{n}}[/mm] +
> [mm]\wurzel[n]{3^{n}+5^{n}}[/mm] = ????
erfinde keinen neuen Rechenregeln - das, was Du da schreibst, ist zum
einen für (fast) alle [mm] $n\,$ [/mm] falsch (ich habe nicht nachgerechnet, ob es für
manche [mm] $n\,$ [/mm] gilt, deswegen das "fast" mal in Klammern...) - und zum
anderen war das nicht der Tipp.
Der Tipp fußt darauf, dass Du schreiben kannst:
[mm] $$\bullet\;\;\;\;\;\;3^n+5^n+7^n=7^n\red{*}\left(\frac{3^n}{7^n}+\frac{5^n}{7^n}+\frac{7^n}{7^n}\right)=7^n\red{*}\left(\bigg(\frac{3}{7}\bigg)^n+\bigg(\frac{5}{7}\bigg)^n+1\right)\,.$$
[/mm]
und dass einerseits gilt ($a,b [mm] \ge [/mm] 0$)
[mm] $$\bullet \;\;\;\;\;\; \sqrt[n]{a\red{\cdot}b}=\sqrt[n]{a}\red{\cdot}\sqrt[n]{b}$$
[/mm]
und andererseits
[mm] $$\bullet\;\;\;\;\;\; \sqrt[n]{a^n}=a\,,\text{ insbesondere }\sqrt[n]{7^n}=7\,.$$
[/mm]
Zudem kannst Du dann auch den Hinweis, der am Ende meiner Antwort
steht, mitverwenden - denn schließlich kannst Du bei diesem Lösungsweg
hier etwa verwenden, dass gilt:
Ist [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit $0 [mm] \le a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] die
zudem nach oben beschränkt ist, so folgt
[mm] $$\sqrt[n]{1+a_n}\to 0\,.$$
[/mm]
Natürlich könnte man eine solche Aussage auch noch ein wenig anders
formulieren, etwas allgemeiner, oder etwas weniger allgemein - aber sie
sollte jedenfalls richtig sein und begründen, dass bzw. warum
[mm] $$\sqrt[n]{1+(3/7)^n+(5/7)^n} \to [/mm] 1$$
gilt. Und solche "Zusatzaussagen" musst Du dann natürlich nochmal
explizit beweisen, falls sie nicht bekannt sind, Du so etwas in Deinem
Lösungsweg aber verwenden willst.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}}=7[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich soll zeigen, dass obiges gilt.
>
> also ich habe mehrere zahlen eingesetzt und gesehen, dass
> der grenzwert tatsächlich 7 ist. allerdings muss ich dies
> nun für alle n [mm]\in \IN[/mm] beweisen.
das macht keinen Sinn, da steht keine Aussage, die von [mm] $n\,$abhängt, [/mm]
sondern, dass ein Ausdruck, der von [mm] $n\,$ [/mm] abhängt, gegen einen gewissen
Wert konvergiert, wenn $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen gelassen wird.
> wie soll ich vorgehen? wie soll ich anfangen? hat jemand
> einen tipp für mich?
Einen Tipp hast Du ja schon bekommen. Eine Alternative wäre:
[mm] $$7=\sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{3^n+5^n+7^n} \le \sqrt[n]{7^n+7^n+7^n}=\sqrt[n]{3*7^n}=\sqrt[n]{3}*7\,,$$
[/mm]
das gilt für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] weil für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion
[mm] $$\sqrt[n]{\cdot\;}\colon [0,\infty) \to [0,\infty)$$
[/mm]
(streng) wachsend ist.
Wenn Du nun weißt, dass [mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$ (für jedes $a > [mm] 0\,$) [/mm] gilt (es
gilt ja sogar [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$), dann kannst Du schnell obige Behauptung
folgern.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Und hier mein Lösungsvorschlag:
Wir machen erstmal eine Nebenrechnung bzw. Nebenbetrachtung:
Ich quetsche die Folge wie so ein Sandwich zusammen:
[mm] \wurzel[n]{7^{n}} \le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \wurzel[n]{7^{n}+7^{n}+7^{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 7 [mm] \le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \wurzel[n]{3*7^{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 7 [mm] \le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le [/mm] 7 * [mm] \wurzel[n]{3}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 7 = 7 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3} [/mm] = 1 gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{7^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{7^{n}+7^{n}+7^{n}}
[/mm]
Damit gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} [/mm] = 7
Ich bin jetzt von links und von rechts wie so ein hamburger zusammen gegangen und dann trifft sich das ganze beim "beef" also bei 7. :-D
ist das richtig???????????
lg
ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 03.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Und hier mein Lösungsvorschlag:
>
> Wir machen erstmal eine Nebenrechnung bzw.
> Nebenbetrachtung:
>
> Ich quetsche die Folge wie so ein Sandwich zusammen:
>
> [mm]\wurzel[n]{7^{n}} \le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \wurzel[n]{7^{n}+7^{n}+7^{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 7 [mm]\le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \wurzel[n]{3*7^{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 7 [mm]\le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le[/mm] 7 *
> [mm]\wurzel[n]{3}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 7 = 7 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3}[/mm] = 1 gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{7^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{7^{n}+7^{n}+7^{n}}[/mm]
>
> Damit gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}}[/mm]
> = 7
>
> Ich bin jetzt von links und von rechts wie so ein hamburger
> zusammen gegangen und dann trifft sich das ganze beim
> "beef" also bei 7. :-D
>
> ist das richtig???????????
Ja, lass Dir es schmecken
FRED
>
>
> lg
> ali
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Do 03.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi... danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und hier mein Lösungsvorschlag:
>
> Wir machen erstmal eine Nebenrechnung bzw.
> Nebenbetrachtung:
>
> Ich quetsche die Folge wie so ein Sandwich zusammen:
>
> [mm]\wurzel[n]{7^{n}} \le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \wurzel[n]{7^{n}+7^{n}+7^{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 7 [mm]\le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \wurzel[n]{3*7^{n}}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] 7 [mm]\le \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le[/mm] 7 *
> [mm]\wurzel[n]{3}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 7 = 7 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3}[/mm] = 1 gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{7^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{7^{n}+7^{n}+7^{n}}[/mm]
>
> Damit gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}}[/mm]
> = 7
>
> Ich bin jetzt von links und von rechts wie so ein hamburger
> zusammen gegangen und dann trifft sich das ganze beim
> "beef" also bei 7. :-D
>
> ist das richtig???????????
wie Fred schon sagte: Sieht lecker aus. 
Nichtsdestotrotz: Führ' auch mal den ersten vorgeschlagenen Lösungsweg
zu Ende - da lernst Du auch noch etwas - und wenn Du dabei einen
Zwischenbeweis, wie ich es angedeutet habe, führst, bekommst nochmal
'n Sandwich. (Ich frag' mich gerade, ob wir hier nicht indirekt
Schleichwerbung betreiben...)
Gruß,
Marcel
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