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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Sa 23.07.2016
Autor: szgaming

Aufgabe
Berechnen Sie für x [mm] \not= [/mm] 0 den Grenzwert

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{x}sin(\bruch{x}{2^{n}}) [/mm]

Ich weiß, dass der Grenzwert dieser Folge laut meinem Skript 1 sein soll:

Die Lösung lautet:
x [mm] \not= [/mm] 0: [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2^{n}} \not= [/mm] 0, [mm] y_{n} \to [/mm] 0.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{x}sin(\bruch{x}{2^{n}}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(y_{n})}{y_{n}} [/mm] = 1

Jedoch verstehe ich noch nicht genau wie man zu diesem Ergebnis gelangt. Kann mir dies einer bitte erklären?

MfG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwertberechnung: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Sa 23.07.2016
Autor: phifre

Hallo!

Die genannten Umformungen aus deiner Lösung sind dir aber klar?

Dann wäre noch das einzig unklare, warum [mm] $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1.$$ [/mm]
Dazu benutzt man die Regeln von l'Hospital, sagen Dir die etwas?

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Sa 23.07.2016
Autor: szgaming

Die Umformung war ja lediglich das Teilen durch den Kehrwert.
Dass:
$ [mm] \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1. [/mm] $
ergibt ist mir klar, da ich die Regel von l'Hospital kenne.
Jedoch wäre ja beispielsweise:
$ [mm] \lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x}=0. [/mm] $
Daher hätte ich erwartet, dass hier eventuell das selbe Ergebnis resultiert, was ja leider nicht der Fall ist.


/EDIT:
Mir ist echt nicht aufgefallen, dass man L'Hopital hier verwenden kann. Danke für den Hinweis. Da ja sozusagen dann sin(0)/0 stehen würde, kann ich dann einfach den Grenzwert von $ [mm] \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1. [/mm] $ betrachten? Muss ich den Rest wirklich nicht berücksichtigen?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Sa 23.07.2016
Autor: phifre

Was genau meinst du mit dem Rest?

Die Folge [mm] $y_n$ [/mm] ist ja gerade eine Nullfolge, daher ist es doch gleichbedeutend
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin y_n}{y_n} [/mm] = [mm] \lim_{z\to0}\frac{\sin z}{z}$$ [/mm]
zu betrachten. (Sorry meine Schreibweise mit dem $x$ im vorherigen Post war evtl etwas missverständlich.)

Die genaue Gestalt von [mm] $y_n$ [/mm] ist dann garnicht mehr von Interesse.

Bezug
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