Grenzwertberechnung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 So 02.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie
a) [mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] t*ln(t)
b) [mm] \limes_{t\rightarrow\infty } t^t
[/mm]
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Hi,
Ich habe ein paar Fragen:
zu a) Stünde in der Aufgabe ln t ,könnte ich damit etwas anfangen. Aber was mache ich mit der stetig anwachsenden Funktion ln (t) ??? Ich hörte mal etwas von der Grenzwertberechnung mit der Regel von HOSPITAL oder so ???
Diese haben wir aber in der Vorlesung noch nicht behandelt. Also muß die Aufg. auch anders zu lösen sein. Aber wie????
zu b) Hier steht zwar [mm] t^t, [/mm] aber ich weiß trotzdem nicht wie ich herangehen soll.
Wer ist so nett und hilft mir ein bisschen? Einen schönen Sonntag und besten Dank im Voraus.
ruß didi_160
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:30 So 02.07.2006 | | Autor: | toivel |
zur 1.: [mm] \limes_{t\rightarrow0}tlog(t)=\limes_{t\rightarrow0}log(t)^t=1
[/mm]
zur2.: [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}t^t [/mm] ist natürlich [mm] \infty
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 02.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich danke dir für deine schelle Antwort. Ob ich [mm] log_n [/mm] (t) oder ln (t) schreibe ist ja gleichgültig.
Aber woher nimmst du [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}log(t)^t [/mm] = 1 ??
Kansst du mir eine Quelle nennen?? Wie hast du den Grenzwert berechnet??
Viele Grüße an dem sonnigen Sonntag
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Der o.g. Grenzwert ist leider falsch ...
Forme zunächst folgendermaßen um: [mm] $\limes_{t\rightarrow 0}t*\ln(t) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\ln(t)}{\bruch{1}{t}}$
[/mm]
Denn nun liegt hier der Fall [mm] $-\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] vor und wir können den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital verwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mo 03.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo Loddar
besten Dank für deine Korrektur.
Die Regel nach "l´Hospital" haben wir noch gar nicht in der Vorlesung besprochen. Wie kann ich den Grenzwert noch berechnen?
Gruß didi
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Hallo didi,
Du kannst ja für den ln die Reihenentwicklung einsetzen oder?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 03.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Ich habe nur eine Reihenentwicklung nach TAYLOR für log(y) gefunden, leider nicht für ln(y).
Sie lautet:
log [mm] (\bruch{1+x}{1-x}) [/mm] = [mm] 2\summe_{k=}^{\infty} \bruch{x^(^2^k ^+^1^)}{2k+1} [/mm] für -1<x<+1
mit [mm] x:=\bruch{y-1}{y+1}
[/mm]
______________________________________________________
Hast du eine bessere Reihe ?
Gruß didi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 03.07.2006 | | Autor: | droller |
Die Reihe für ln(t) ist:
[mm] (t-1)-\bruch{1}{2}(t-1)^{2}+ \bruch{1}{3}(t-1)^{3} [/mm] und so weiter.
Aber die braucht man nicht wenn man sich die Rechenregeln vom ln anschaut ( siehe anderer Beitrag )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 03.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für Deinen Hinweis.
Ich berechne die Grenzwerte mit der Regel nach "l Hospital". Für [mm] \limes_{t\rightarrow0}t*ln(t) [/mm] erhalte ich -0.
Kann ich [mm] \limes_{t\rightarrow \infty} t^t [/mm] auch mit Regel nach "l Hospital" berechnen? Eigentlich ja, denn ich erhalte einen unbestimmten Ausdruck
[mm] \infty^\infty. [/mm] Oder geht die Regel nur bei Ausdrücken [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw.
[mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] anzuwenden?
Wenn ja, wüßte ich nicht wie ich [mm] t^t [/mm] auf eine der beiden Formen bringen soll. Hast du eine Idee dazu?
Beste Grüße didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 03.07.2006 | | Autor: | droller |
Also das erste ist [mm] \limes_{t\rightarrow\0}t*ln(t) [/mm] ist gleich [mm] \limes_{t\rightarrow\0}ln(t^{t}) [/mm] also ln(1) und das ist 0
Der zweite [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}t^{t} [/mm] ist [mm] \infty, [/mm] da jede Zahl hoch [mm] \infty [/mm] gleich [mm] \infty [/mm] ist (auch [mm] \infty^{\infty}=\infty)
[/mm]
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Hallo droller,
Ich wollte nur anmerken das [mm] \lim_{ t \to 0} t^t=1 [/mm] zwar imho richtig ist. Aber doch erst gezeigt werden müßte. Und wegen [mm] 0^t=0 [/mm] für [mm] t\not=0 [/mm] durchaus kein "Selbstläufer".
viele grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 03.07.2006 | | Autor: | droller |
Das zu 2 ist ja schon mal gut. Bei 1 ist die Idee auch gut nur t*ln(t) ist [mm] ln(t^{t}) [/mm] beachte bitte die Klammern vom ln sonst wird das Ergebniss falsch.
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