Grenzwertberechnung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mi 03.10.2007 | | Autor: | DaniTwal |
| Aufgabe | lim [mm] 2x^2+x [/mm] / 2x-1
[mm] x->\infty [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich hab folgende Frage:
Würde man nun den Grenzwert bestimmen, so müsste man [mm] \infty [/mm] rausbekommen.. ( habe ich leider nicht geschafft, da ich gewohnt war immer eine konstante zu erhalten, gegen die der graph im [mm] \infty [/mm] konvergierte..)
beim betrachten des graphen in einem zeichenprogramm, fällt mir aber auf, dass er gegen eine funktion ( wahrscheinlich f(x)= x+1) strebt?! heißt es also, dass bei der grenzwertberechnung eine funktion rauskommen müsste?
ich schreibe morgen die lk-klausur, daher bitte ich, dass ihr mir so schnell wie möglich helft..
Danke im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo DaniTwal,
zunächst mal ist der Grenzwert - so er existiert - stets eine (reelle) Zahl
(also insbesondere KEINE Funktion)
Oder du hast die sog. "uneigentliche" Grenzwerte [mm] $\pm\infty$
[/mm]
In deinem Falle ist die Funktion [mm] $f(x)=\frac{2x^2+x}{2x-1}$
[/mm]
Hier kannst du direkt argumentieren, dass der Zählergrad größer ist als der Nennergrad (also die höchste Potenz von $x$ ist im Zähler (=2) größer als die höchste Potenz von $x$ im Nenner (=1) ist) und damit der Bruch gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] divergiert. Da auch die Vorzeichen vor den höchsten Potenzen von $x$ dieselben sind (+), divergiert die Funktion für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$
[/mm]
Rechnerisch kannst du ja mal $2x$ im Zähler und Nenner ausklammern, kürzen und dann [mm] $x\to\infty$ [/mm] laufen lassen
In deinem zweiten Schritt hast du die Asymptote von $f$ bestimmt, also die Funktion (bzw. hier Gerade), der sich $f$ für riesige $x$ beliebig nahe anschmiegt.
Das geht rechnerisch per Polynomdivision [mm] $(2x^2+x):(2x-1)=x+1+\frac{1}{2x-1}$
[/mm]
Und hier siehst du, dass wenn [mm] $x\to\infty$ [/mm] geht, dass der letzte Term [mm] $\frac{1}{2x-1}$ [/mm] gegen $0$ geht und dass sich $f$ also für [mm] $x\to\infty$ [/mm] beliebig nahe an die Gerade $y=x+1$ anschmiegt.
LG
schachuzipus
|
|
|
|
