Grenzwertberechnung? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Di 13.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich habe hier Aufgabe zur Grenzwertberechnung und wollte wissen,ob man alle Beispiele irgendwie gleich lösen kann oder muss man immer anders an die Sache gehen?
a) [mm] \bruch{3k^{4}+2k^{2}+1}{2k^{3}-7k^{4}+2k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{12k^{2}-3}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*2^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
Wie geht man hier immer vor? Hab mal was gehört man soll die erste Ableitung machen und dann den Wert für k einsetzen!
Wäre super dankbar für Hilfe eventuell sogar für Vorrechnen!
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Hallo, ich habe hier Aufgabe zur Grenzwertberechnung und
> wollte wissen,ob man alle Beispiele irgendwie gleich lösen
> kann oder muss man immer anders an die Sache gehen?
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> a) [mm] (\bruch{3k^{4}+2k^{2}+1}{2k^3-7k^{4}+2k})
[/mm]
> b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{12k^{2}-3}
[/mm]
> c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}}
[/mm]
> d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*2^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
>
> Wie geht man hier immer vor? Hab mal was gehört man soll
> die erste Ableitung machen und dann den Wert für k
> einsetzen!
>
> Wäre super dankbar für Hilfe eventuell sogar für
> Vorrechnen!
>
> lg Surfer
Bei (a) ist eine Folge gemeint?
Klammere die höchste gemeinsame Potenz von k im Zähler und Nenner aus, dann kürzen und den Grenzübergang [mm] k\to\infty [/mm] machen (Grenzwertsätze)
Bei (b)-(d) hast du Reihen. Für die Untersuchung auf bloße Konvergenz oder Divergenz gibt's ja ne ganze Menge Kriterien.
Was den Grenzwert oder Reihenwert angeht, so klammere bei der (b) erstmal [mm] \frac{1}{3} [/mm] aus und ziehe es vor die Summe. Mache dann eine Partialbruchzerlegung des Nenners, dann bekommst du etwas in der Art [mm] $\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)$
[/mm]
Dann betrachte eine n-te Partialsumme [mm] $S_n=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)$ [/mm] . Das sollte ne nette Teleskopsumme geben, in der sich viel weghebt...
Dann den Grenzübergang [mm] n\to\infty
[/mm]
(Es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k^2-3}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{12k^2-3})$
[/mm]
bei (c) denke mal scharf an die geometrische Reihe - aber aufpassen bei den Laufindizes, deiner geht bei k=1 los!!
bei (d) kannst du (absolute) Konvergenz mit dem Quotientenkriterium relativ problemlos nachweisen, was aber den expliziten Reihenwert angeht, hmmm ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich denk noch mal drüber nach
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok also die a) c) und d) bekomme ich hin, aber die b) funktioniert irgendwie nicht mit der Partialbruchzerlegung, da würde ich für die Komponenten A und B immer 0 herausbekommen!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Mi 14.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann zeige uns doch mal deine Partialbruchzerlegung, dann sehen wir den eventuellen Fehler.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{12k^{2}-3}
[/mm]
dann ziehe ich [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus:
[mm] \bruch{1}{3} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k^{2}-1}
[/mm]
daraus die Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{4k^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{2k+1} +\bruch{B}{2k-1}
[/mm]
und wennn ich jetzt mit (2k+1) durchmultipliziere und k= [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] einsetzte erhalte ich A=0 ?
Wo ist mein Fehler?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 14.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst mit (4k²-1) durchmultiplizieren:
[mm] \bruch{1}{4k^{2}-1}=\bruch{A}{2k+1}+\bruch{B}{2k-1}
[/mm]
[mm] \gdw 1=\bruch{A(4k^{2}-1)}{2k+1}+\bruch{B(4k^{2}-1)}{2k-1}
[/mm]
[mm] \gdw1=A(2k-1)+B(2k+1)
[/mm]
[mm] \gdw1=2kA-A+2kB+B
[/mm]
[mm] \gdw \red{0}k+\green{1}=(2A+2B)*k+(B-A)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vmat{2A+2B=\red{0}\\B-A=\green{1}}
[/mm]
Und dieses LGS musst du jetzt lösen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann bekomme ich für A = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und für B = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wie geht es dann weiter, damit ich vollends auf den Grenzwert [mm] \bruch{1}{6} [/mm] komme?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 14.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] S_n=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n\left(-\frac{1}{2(2k+1)}+\frac{1}{2(2k-1)}\right) [/mm]
[mm] =\buch{1}{3}*[\underbrace{(-\frac{1}{2(2*\red{1}+1)}+\frac{1}{2(2*\red{1}-1)})}_{k=1}+\underbrace{(-\frac{1}{2(2*\red{2}+1)}+\frac{1}{2(2*\red{2}-1)})}_{k=2}+...+\underbrace{(-\frac{1}{2(2*\red{n}+1)}+\frac{1}{2(2*\red{n}-1)})}_{k=n}]
[/mm]
Dann solltest du sehen, dass sich eine ganze Menge Terme "aufheben", also wegfallen.
Übrig bleiben zwei Terme. Und davon kannst du dann den Grenzwert berechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
D.h. ich schaue jetzt nach zwei Terme die sich immer wiederholen oder? nur hebt sich doch dies immer auf oder? wie komme ich dann auf den Grenzwert [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ?
lg und danke für die Hilfe
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Hallo Surfer,
der besseren Übersicht wegen würde ich noch zusätzich aus der Summe [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ausklammern:
Du betrachtest ja eine n-te Partialsumme [mm] $S_n=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{-\frac{1}{2}}{2k+1}+\frac{\frac{1}{2}}{2k-1}\right)=\frac{1}{6}\sum\limits_{k=1}^n\left(-\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k-1}\right)$
[/mm]
Schreibe die Summe mal etwas weiter aus als in Marius' post und berechne die Nenner explizit.
Dann siehst du, dass sich in der ganzen Summe immer der erste Summand aus einer Klammer mit dem zweiten Summanden aus der folgenden Klammer weghebt.
Es bleibt also in der ganzen Summe nur [mm] $\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$ [/mm] übrig
Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen ....
Damit hast du's
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi.
> Es bleibt also in der ganzen Summe nur
> [mm]\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)[/mm] übrig
>
> Und das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen ....
gegen 1 oder?
> Damit hast du's
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 14.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hi.
>
> > Es bleibt also in der ganzen Summe nur
> > [mm]\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)[/mm] übrig
> >
> > Und das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen ....
> gegen 1 oder?
Wie kommst du denn darauf?
[mm] \frac{1}{6}(1-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\rightarrow0 \text{für} n\rightarrow\infty})
[/mm]
Also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{6}(1-\frac{1}{2n+1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{6}*(1-\green{0})
[/mm]
=...
>
> > Damit hast du's
> >
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ja ich meinte das in der klammer .
[mm] 1-\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
das ganze natürlich gegen 1/6 klar!!
also super vielen dank!! hat mir echt geholfen...
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Di 13.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Als ![[]](/images/popup.gif) Tipp für den Grenzwert der Reihe (d.) ... es gilt:
[mm] $$\sinh(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mi 14.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Bei d) würde ich eher an die Sinusreihe denken !
Fred
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
eine Alternative Methode für b) kannst Du auch hier entnehmen (Antw.: 22.20 Uhr), sofern es nur um die Frage der Konvergenz der Reihe geht. Die Reihe in b) konvergiert, da sie sich "im Wesentlichen" wie [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ [/mm] verhält und die letztgenannte Reihe bekanntlich konvergiert.
Gruß,
Marcel
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