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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x(x+2)} [/mm] - [mm] \wurzel{x^2-7x+3} [/mm] |
Nun dachte ich:
Der Grad ist in beiden Wurzeln gleich hoch und beide Teile divergieren doch ins unendliche...So dachte ich der Grenzwert wird Null.
In meiner Lösung haben sie 9/2 angegeben.
Kann ich das Ganze irgendwie zerlegen?
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Moin,
Der Ausdruck $\ [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] $ ist nicht definiert. Also $\ [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty \not= [/mm] 0 $
Erweitere das Ganze mit $ [mm] \frac{ \wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3}}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3}} [/mm] $
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x(x+2)} [/mm] - [mm] \wurzel{x^2-7x+3} \frac{ \wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3}}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3}}
[/mm]
Dann hab ich ja die Dritte Binomische Formel...
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x(x+2) - (x^2-7x+3)}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3} }
[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-9x - 3}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3} }
[/mm]
Korrekt soweit? Jedoch hab ich noch immer nicht so richtig die Idee wie ich zur Lösung gelande..
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Hallo zocca,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x(x+2)}[/mm] -
> [mm]\wurzel{x^2-7x+3} \frac{ \wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3}}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3}}[/mm]
>
> Dann hab ich ja die Dritte Binomische Formel...
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x(x+2) - (x^2-7x+3)}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3} }[/mm]
>
> Zusammengefasst:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\red{-}9x - 3}{\wurzel{x(x+2)} + \wurzel{x^2-7x+3} }[/mm]
Na, das muss doch [mm] \red{+} [/mm] lauten $2-(-7)=+9$
Nun multipliziere in der ersten Wurzel aus:
[mm] $\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-7x+3}$
[/mm]
Nun klammere unter beiden Wurzeln [mm] $x^2$ [/mm] aus, hole es als x (da du [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}$ [/mm] betrachtest, kannst du getrost $x>0$ annehmen) aus der Wurzel.
Danach kannst du in Zähler und Nenner x ausklammern, kürzen und dann [mm] $x\to\infty$ [/mm] betrachten
>
> Korrekt soweit? Jedoch hab ich noch immer nicht so richtig
> die Idee wie ich zur Lösung gelande..
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Sa 10.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Super ich habs nun. Vielen Dank...naja noch sehr viel üben..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x(x+2)}[/mm] -
> [mm]\wurzel{x^2-7x+3}[/mm]
> Nun dachte ich:
>
> Der Grad ist in beiden Wurzeln gleich hoch und beide Teile
> divergieren doch ins unendliche...So dachte ich der
> Grenzwert wird Null.
>
> In meiner Lösung haben sie 9/2 angegeben.
>
> Kann ich das Ganze irgendwie zerlegen?
Du hast ja schon den Weg zu einer Lösung erhalten (erweitern, so dass sich mit der dritten binomischen Formel arbeiten läßt).
Dass Deine Überlegung nicht stimmen kann:
[mm] $$\lim_{n \to \infty}(n+1)=\infty$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{n \to \infty}n=\infty\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\{(n+1)-n\}=\lim_{n \to \infty}1=1\,.$$
[/mm]
P.S.:
Wenn Dir Deine Aufgabe oben (noch) zu kompliziert erscheint, überlege erst mal, was [mm] $\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ [/mm] ist:
[mm] $$\sqrt{n+1}-{\sqrt{n}}=(\sqrt{n+1}-{\sqrt{n}})\frac{\sqrt{n+1}+{\sqrt{n}}}{\sqrt{n+1}+{\sqrt{n}}}=\ldots$$
[/mm]
Hier kommt zwar wirklich was "schöner(es)" (in Deinem Sinne) heraus, aber die Rechenoperationen bzw. Überlegungen gehen bei Deiner Aufgabe im wesentlichen analog.
Beste Grüße,
Marcel
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